Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Прежде всего следует заметить, что в предложенном уравнении знаки флюксий в отдельных членах должны быть одинакового измерения (ибо флюксии суть величины иного рода, чем те, для которых они служат флюксиями)»

Речь идет о том, что уравнение должно быть однородным, т. е. все его слагаемые должны измеряться в одних и тех же единицах измерения. Во времена
Ньютона выражение вида x2 + x считалось неправильным, поскольку нельзя
"складывать площадь и длину"

«Если в каком-либо случае дело обстоит иначе, то флюксию какой-либо флюэнты следует принять за единицу и помножить на нее низшие члены столько раз, сколько требуется для того, чтобы знаки флюксий привелись во всех членах к одинаковому числу измерений. Уравнения, которые содержат только флюэнты, имеющие везде одинаковое число измерений, всегда можно привести к такому виду, чтобы в одной части находилось отношение флюксий (например,
[pic]или [pic]или [pic]и т. д.), а в другой значение этого отношения, выраженное в простых алгебраических членах (таким образом, левая часть уравнения будет зависеть от производной y по x), как, например,
|[pic]= 2 + 2x - |
|y. |
| |

В том случае, когда не может быть применено приведенное выше частное решение, уравнения всегда следует представлять в этой форме.

Поэтому, когда в значении этого отношения имеется какой-либо член с составным знаменателем или радикалом или когда это отношение представляет собой корень неявного уравнения, то прежде чем приступить к действиям, ты должен совершить приведение либо посредством деления, либо с помощью извлечения корня, либо с помощью решения неявного уравнения, как мы это объясняли выше.»

Речь идет, по существу, о хорошо известном методе Ньютона решения нелинейных уравнений, описываемом Ньютоном в предыдущем разделе трактата в форме представления решений в виде ряда.

«Пусть, например, предложено уравнение

[pic]

Прежде всего приведение его дает [pic] или [pic]

При первом предположении я обращаю выражение y/(a- x), у которого знаменатель есть составное выражение a- x, в бесконечный ряд простых членов: [pic]

(приведение это производятся делением числителя y на знаменатель a - x), откуда получаю [pic] с помощью чего и следует определить отношение между x и y.

Таким же образом, если данное уравнение есть

[pic] или

[pic] или после дальнейшего преобразования

[pic] то я извлекаю квадратный корень из членов 1/4+xx и получаю бесконечный ряд
| |
|1 |
|[pic] |
|2 |
|+ xx - x4 + 2x7 - 5x8 + 14x10 и т. д. |
| |

При подстановке его вместо [pic]я буду иметь
|[pic]= 1 + xx - x4+2x7 - 5x8 + |
|14x10 и т. д. |
| |

или
|[pic]= -xx + x4 - 2x7 + 5x8 - |
|14x10 и т. д., |
| |

смотря по тому, прибавляю ли [pic]к 1/2 или вычитаю из нее.»

В этих примерах Ньютон описывает первый этап своего метод решения дифференциальных уравнений. В современной терминологии это приведение уравнения к нормальной форме и разложение правой части в степенной ряд.

«Далее, чтобы легче было отличать одну из флюэнт от других, можно с достаточным основанием ту из флюксий, которая находится в числителе отношения, назвать величиной отнесенной, а ту, которая стоит в знаменателе и с которой сравнивается первая, соотнесенной, -зависимая и, соответственно, независимая переменные в дифференциальном уравнении; и этими же терминами можно соответственно называть и флюэнты. Для лучшего понимания дальнейшего можно представлять себе, что соотнесенная величина есть время или, лучше, какая-либо равномерно текущая величина, с помощью которой выражается и измеряется время, а другая, именно отнесенная, величина есть пространство, проходимое за это время вещью или точкой, обладающей некоторым ускоренным или замедленным движением. Сущность проблемы заключается тогда в определении пройденного за все время пути, если известна скорость для любого момента времени.»

Классификация уравнений в рамках проблемы и их решение

Уравнения, относящиеся к этой проблеме, Ньютон разделил на три рода:

1. уравнения вида F(x,[pic],[pic]) = 0, приводящиеся к виду f(x,dy/dx) = 0 «…те уравнения, в которых имеются две флюксии величин и только одна из флюэнт».

2. уравнения вида F(x,y,[pic],[pic]) = 0, приводящиеся к виду f(x, y, dy/dx) = 0. «…те, которые содержат обе текущие величины с их флюксиями.»

3. Одно дифференциальное уравнение с несколькими неизвестными. «…те, в которых имеются флюксии больше чем двух величин»

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклад на тему язык, компьютерные рефераты.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата