Управление структурой преподавательского состава в университете

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: заказать дипломную работу, русский язык 7 класс изложение
| Добавил(а) на сайт: Vlas.

При построении модели ставится цель по возможности отразить характеристики реальной системы, которую эта модель представляет. На данном этапе необходимо, следовательно, обратиться к данным о поведении рассматриваемой системы, чтобы изучить возможность введения оправданных допущений. Основой всех научных прогнозов является установление закономерностей, имевших местно в прошлом, дополненное допущением о том, что эти закономерности в будущем сохранятся. Дальнейшее продвижение в решение задачи возможно лишь после статистического исследования данных по запасам и потокам за прошлые годы.

Рассмотрим в первую очередь потоки, характеризующие повышения в должности. Они управляются некоторой совокупностью факторов, которые варьируются от одного вида найма к другому. Иногда количество повышений прямо связано с числом образующихся вакансии. В других случаях повышения происходят почти автоматически по достижении определенного уровня квалификации. Применительно к университету, который упоминался в начале главы, последняя из указанных возможностей ближе к действительности.
Возьмем ее за основу при установлении соотношения между потоками и запасами, порождающими эти потоки. Это соотношение оказывается простой пропорциональной зависимостью, т.е. отношения nij(T) / ni(T) (i = 1, 2, …, k+1), если отвлечься от статистических колебаний, суть константы. К такой пропорциональной зависимости мы обычно и приходим на практике, даже в тех случаях, когда функционирование системы наводит на мысль о том, что она могла быть и другой. Впрочем, это обстоятельство всегда требует практической проверки; могут быть выдвинуты и другие допущения, если на то имеются достаточные причины.

Теперь можно было бы приступить к прогнозированию размеров запасов, исходя из пропорциональности между nij(T) и ni(T) и используя оценку коэффициента пропорциональности, выведенную из наших данных. Выбрав такой путь, мы должны рассматривать модель как детерминированную. Это могло бы, конечно, оказаться приемлемым для достижения непосредственных целей, поставленных в данной главе, однако подобный подход не соответствовал бы действительности и ввел бы заблуждение при использовании модели для слишком отдаленных периодов. Хотя отношения nij(T) / ni(T) могут не зависеть от Т систематическим образом, тем не менее они, конечно же, будут меняться. Эти изменения могут быть весьма значительными при малых ni(T), поскольку, например, уход из системы на уровне отдельных лиц становится в высшей степени непредсказуемым событием. Реалистическая модель, следовательно, должна включать в себя не только регулярные явления, наблюдаемые в коллективе, но и неопределенности поведения индивидуумов. Теория вероятностей представляет собой ветвь математики, которая дает нам возможность количественно оценивать неопределенность, и на этой основе мы будем вводить в модель элемент вероятностей (или стохастичности). Допустим, что перемещения происходят независимо и что индивидуум в классе i характеризуется вероятностью pij перехода в класс j в течение года, начиная с данного. Пусть вероятность его ухода составляет wi , тогда, очевидно,

[pic], (2) поскольку индивидуум должен оставаться в своем классе, переместиться в другой класс или выбыть совсем. При этом допущении число лиц, переходящих из класса i в класс j за год, будет случайной величиной с биномиальным распределением при заданном начальном запасе ni(T). Тогда ожидаемый поток будет равен ni(T) pij, что соответствует допущению эмпирического характера относительно того, что потоки пропорциональны запасам.

Оставшийся без рассмотрения вопрос относится к набору. Набор удобнее рассмотреть с двух позиций. Первая — общее число лиц, набираемых в систему, вторая — способ распределения этих лиц по классам. В организации, общее число сотрудников которой фиксировано, как в примере, приведенном в начале доклада, общее число вновь нанимаемых должно быть равно общему числу выбывающих:

[pic]. (3)

Распределение нанимаемых лиц по классам обычно вполне фиксировано, поскольку оно определяется потребностями или политикой организации. Тогда допустим, что доля ri от общего числа нанимаемых зарезервирована для класса i (i = 1, 2, …, k), причем имеем [pic].

Собирая эти допущения вместе, получаем, что наша модель в итоге характеризуется:

1) матрицей вероятностей переходов, управляющей перемещениями в системе, эту матрицу обозначим через P = {pij};

2) вектором вероятностей ухода w = (w1, w2, …, wk), связанным с pij уравнением (2);

3) вектором r = (r1, r2, …, rk), определяющим распределение нанимаемых по классам;

4) ограничением [pic].

4. Основное уравнение прогнозирования

В соответствии с нашей моделью запасы следующего года суть случайные величины, и потому их значения не могут быть предсказаны точно. В этих условиях мы обычно используем ожидаемые величины случайной переменной в качестве прогноза.

Перейдем к математическим ожиданиям в обеих частях уравнения (1) для запасов в год Т. Мы уже отметили, что

[pic], где черта над n означает математическое ожидание. Набор в классе j, n0j(T + 1) можно записать как R(T + 1) rj, так что необходимо найти математическое ожидание для R(T + 1). Имеем [pic] и из (3) [pic],

Теперь, следовательно, с подстановкой в (1) получим

[pic]. (4)
Эти уравнения могут быть кратко записаны в матричной форме, например, как

[pic]. (5)

Таким образом, если параметры модели известны, то запас следующего года (т.е. Т + 1) может быть найден по запасу текущего года (год Т) путем простого перемножения матриц. Прогноз на следующий год, [pic], может быть затем использован в качестве основания для прогноза еще на один год вперед, если взять

[pic] (6)
(мы не можем писать n(T + 1) в правой части, так как эта величина не известна в год Т; поэтому используем ожидаемую величину).

Матрица Q относится к особому классу матриц, называемых стохастическими, и представляет всевозможные переходы от одного класса к другому. Она имеет неотрицательные элементы, и суммы всех элементов каждой из строк равны единице. Подобные матрицы играют основную роль в теории марковских цепей, и мы можем применить эту теорию для ответа на вопросы о поведении модели.

5. Прогнозирование

Первый вопрос, который был поставлен относительно структуры преподавательского состава университета, состоял в том, имеется ли тенденция к продолжению роста. На этот вопрос можно ответить, используя запись (6). Допустим, что начальные запасы и величины параметров таковы:

[pic], где классы перечислены в порядке увеличения уровня квалификации
(ассистенты, доценты, профессоры). Вид матрицы Р, представленный выше, вполне типичен. Нули ниже диагонали означают, что движение из более высоких классов в более низкие отсутствует; происходят разве лишь переводы в более высокие классы. Вектор ухода говорит о высоком коэффициенте потерь наверху и внизу; наверху — это смерть и уход в отставку, случающиеся чаще, чем в двух нижних классах. Наибольший уровень приема на работу имеет место в нижнем классе.