Управление структурой преподавательского состава в университете

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: заказать дипломную работу, русский язык 7 класс изложение
| Добавил(а) на сайт: Vlas.

Построим матрицу Q и получим структуру классов на 5 и 10 лет вперед с помощью формулы (5). Для этого создаем программу для MatLab uspsvu1.m
(текст программы приведен в приложении). Результаты выполнения программы:

— матрица [pic];

— структура классов на 5 лет вперед: [pic];

— структура классов на 10 лет вперед: [pic].

Явно наблюдается постоянно ухудшающееся состояние, поскольку система приобретает признаки перегруженности высоких классов. Такое поведение системы зависит, разумеется, от структуры Р, но был взят весьма типичный случай, который, правда, соответствует большим возможностям для повышения, чем это имеет место во многих организациях. Вывод должен быть таким, что политики набора и повышений, представленные как r и P, несовместимы с сохранением структуры вида n(0). (Необходимо отметить, что элементы вектора предсказанных численностей классов в общем случае не будут целыми; это объясняется тем, что здесь оперируют с математическими ожиданиями.
Математику известно, что математические ожидания целых чисел, являющихся случайными переменными, сами не обязательно целые, однако при представлении результатов администрации разговор о дробных значениях числа людей иногда может подорвать доверие к методу!).

Имея прогноз неблагоприятного свойства, необходимо знать меру того, насколько все может стать неблагополучным. В математических терминах — каково предельное состояние n(T) при [pic]? После Т лет будет

[pic]. (7)
В теории марковских цепей показывается при весьма общих условиях, которые будут выполняться в любой разумной постановке задачи о кадрах, что

[pic], (8) где Q? — стохастическая матрица с одинаковыми строками. Если через q обозначить общую строку этой матрицы, то устремляя Т к бесконечности в (7), получаем n(?) = n(0)Q? = N q , (9) где N — общий (фиксированный) размер системы. Следовательно, имеется предельная структура, которая не зависит от начальной структуры. Простейший способ подсчета q связан с тем, что предельная структура должна удовлетворять условию n(?) = n(?)Q или q = qQ . (10)
Эта система уравнений является вырожденной, однако если мы опустим одно из уравнений и используем тот факт, что

[pic], то уравнения могут быть легко решены. Составляем программу для MatLab uspsvu2.m (текст программы приведен в приложении). Были получены следующие результаты для рассматриваемого примера:

[pic], [pic], [pic].
Как видно, в конечном итоге ситуация становится очень неблагополучной:
1) превышение численности профессоров над ассистентами;
2) возрастание численности профессоров в 3 раза по сравнению с начальным уровнем при уменьшении численности ассистентов более чем в 2 раза.

В заключении данного параграфа необходимо подчеркнуть 2 момента,

1) в рассматриваемом примере наибольшее ухудшение ситуации происходит в первые 3-5 лет (см. рис. 1), т.е. достаточно быстро.

2) наличие предельной структуры при данных Р, w и r говорит о том, что вполне возможно, изменяя Р, w и r, добиться выполнения условия n = nQ (т.е сохраняемости структуры, начиная с любого года). Об этом подробнее в следующем параграфе.
[pic]

6. Управление: сохраняемость структур

С обнаружением неизбежности роста численности более высоких классов с известной скоростью следующей задачей становится задача управления ситуацией. Пусть первой ограниченной целью наших усилий будет удержание системы на том уровне, на котором она находится. Если n — существующая структура, которую хотелось бы сохранить, то она, очевидно, должна удовлетворять условию n = nQ (11)

В математических терминах задача управления сводится к нахождению матрицы Q , такой, что соотношение (11) удовлетворяется. В то же время Q является некоторой функцией от Р, w и r, а эти величины не все поддаются управлению. Естественные потери, например, не находятся под непосредственным контролем администрации, а увольнение является таким моментом, который большинство работодателей предпочитают избегать. Перевод в более высокий класс находится под непосредственным контролем администрации, однако нехватка подходящих кандидатур на повышение или политика, направленная на заполнение вакансий путем повышений, могут создать для повышений такую ситуацию, когда они будут ограничены тесными рамками. Вектор приема также является объектом непосредственного управления, однако и здесь снова могут возникнуть ограничения из-за возможностей приглашать квалифицированных кандидатов или из-за ограничений, связанных с проводимой политикой.

Математическая задача, с которой мы столкнулись, состоит, таким образом, в поиске матрицы Q, удовлетворяющей условию (11) и учитывающей все те ограничения, которые налагаются практически реализуемой политикой на работу системы. Разумеется, может оказаться вообще невозможным подобрать подходящую политику.

Для иллюстраций решения сделаем довольно простое допущение, которое тем не менее часто соответствует действительности. Допустим, что Р и, стало быть, w вообще не могут быть изменены. Все управление, следовательно, должно быть реализовано через вектор r, который, как мы предполагаем, может изменяться по нашему желанию при условии

[pic]. (12)

(Неравенство, связывающее два вектора, должно пониматься как действующее в каждой паре элементов.) В этом случае поставленная задача может быть решена отысканием такого вектора r, который удовлетворяет условиям (11) и (12). Заметив, что [pic], легко показать, что

[pic], (13) где I – единичная матрица; отметим, что nw’— скаляр. Можно легко убедиться в том, что элементы вектора r, получаемого по (13), в сумме дают единицу.
Вместе с тем эти элементы будут все неотрицательны, если

[pic]. (14)

Таким образом можно легко проверить, обладает ли определенная структура способностью сохраняться при управлении наймом.

Такого рода арифметическая проверка годится для достижения непосредственной цели, но она непригодна для того, чтобы прийти к пониманию вопроса о типе структур, которые могут сохраняться. Поэтому мы продолжим поиск характеристик множества структур, которые удовлетворяют условию (14).

Поскольку размеры всей системы фиксированы, будем работать в терминах пропорций каждого из классов и определим их с помощью x = nN-1 . Таким образом, будем интересоваться множеством таких х, которые удовлетворяют условию