Вычисление интеграла фукции f (x) (методом Симпсона WinWord)

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: законодательство реферат, ответы по тетради
| Добавил(а) на сайт: Ilarija.

(1)

При его аппроксимации заменим функцию f(x) параболой, проходящей через точки [pic] т.е представим приближенно f(x) в виде

[pic] [pic]

где [pic] - интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени,

[pic]. (2)

Проводя интегрирование получим

[pic] [pic]

Таким образом приходим к приближенному равенству

[pic] (3)

Котрое называется формулой Симпсона или формулой парабол.

На всем отрезке [a,b] формула Симпсона имеет вид

[pic]

Чтобы не использовать дробных индексов можно обозначить

xi=a+0,5hi, fi=f(xi), i=1,2,…,2N, hN=b-a

и записать формулу Симпсона в виде

[pic] (4)

Прежде чем переходить к оценке погрешности формулы (3) заметим, что она является точной для любого многочлена третьей степени, т.е. имеет место точное равенство

[pic]

если f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3. Это утверждение нетрудно проверить непосредственно.
Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся интерполяционным многочленом Эрмита. Построим многочлен третьей степени H3(x) такой, что

[pic] [pic]
[pic] [pic].

Такой многочлен существует и единствен.
Однако нам даже не потребуется явный вид многочлена H3(x). Вспоминая, что формула Симпсона точна для любого многочлена третьей степени, получим

[pic] (5)

Представим теперь f(x) в виде

f(x)=H3(x)+ri(x), [pic]x([xi-1,xi],
(6)

где ri(x) – погрешность интерполирования многочленом Эрмита H3(x).
Интегрируя (6) и учитывая (5), получим