А что если для каждого многочлена существует своя схема, гораздо более экономная, чем схема Горнера? Такие схемы можно было бы искать либо исходя из особенностей отдельного многочлена (искусно комбинируя его коэффициенты), либо сконструировав универсальный метод построения схем, намного более экономных, чем схема Горнера, но, возможно, для некоторых многочленов не наилучших. Недостаток первого подхода в том, что для каждого многочлена придется придумывать свои приёмы, и нет никакой гарантии, что нам это всегда удастся; позже (в §10) мы увидим, что второй путь надёжнее во всех отношениях. Само собой разумеется, что оба эти метода уместны лишь в тех случаях, когда конкретный многочлен приходится вычислять так часто, что стоит потратить и время, и усилия, чтобы построить для него хорошую схему. Многочлены же «разового пользования» проще вычислять, скажем, по схеме Горнера. Возможно, подобные рассуждения и привели в 1955 году к открытию универсальной схемы совершенно нового типа для многочлена шестой степени. Мы проиллюстрируем основную идею этой схемы на примере более простой схемы — для многочленов степени 4. Пусть
положим
где A, B, C и D — параметры. Пример. Многочлен x4 + 3x3 + 6x2 + 3x + 2 можно вычислять по схеме: p1 = x(x + A), f (x) = (p1 – 1)(p1 + x + 5) + 7, содержащей два умножения (вместо трёх по Горнеру) и пять (вместо четырёх) (+, –)-операций; здесь A=1, B=–1, C=5, D=7. Выпишем явное выражение для p2(x): p2(x) = x4 + (2A + 1)·x3 + (A2 + A + B + C)·x2 + + (AB + B + AC)·x + BC + D; приравняв коэффициенты f (x) и p2(x), выразим параметры, входящие в формулу (5), через коэффициенты (4):
|
Главная