Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

 (2.3)

Теперь, чтобы получить необходимое условие экстремума, надо исключить произвольную функцию из вариации функционала d I. В классическом вариационном исчислении это делается с помощью интегрирования по частям, которое в данном случае неприменимо. Полагая, что к вариации d I применима теорема Фубини [8], одним из условий применимости которой может быть суммируемость произведений

изменим в формуле (2.3) порядок интегрирования [10, 11]

 (2.4)

Используя основную лемму вариационного исчисления в формулировке Л.Янга [7], получим аналог уравнения Эйлера для функционалов с континуально многозначным или разрывным интегрантом, зависящих от линейных интегральных операторов, действующих на экстремаль,

 (2.5)

Следствие. Если воспользоваться фильтрующим свойством d -функции и ее производных, и обозначить ядра операторов (2.1) через Ki(x,t)=d (i)(x-t), то уравнение (2.5) примет вид уравнения Эйлера

 (2.6)

простейшей вариационной задачи [12], но для функционалов с континуально многозначным или разрывным интегрантом

 (2.7)

зависящих от искомой функции h(t) и ее производных h(i)(t).

Пример. Задача Дидоны с канавой. В распоряжении царевны имеется веревка заданной длины L, которой следует ограничить участок побережья, причем береговая черта представляется линией x=0 на плоскости Оtx (Рис.2). При этом надо найти кривую длины L, лежащую в полуплоскости, соединяющую точки (-1,0) и (1,0), такую что площадь между кривой и осью t максимальна.

0 земля в области x>a худшего качества и доход с нее составляет только половину дохода с земли в области x<a .

Рис.2. Участок Дидоны с канавой

Доход Д с огороженного участка, ограниченного кривой x(t), равен

 (П.1)

где gn[x(t)] = {x(t), если; (x+a )/2, если } .Следует максимизировать значение дохода Д (интеграла (П.1)) при наличии ограничений

 (П.2)

 . (П.3)

Далее Кларк использует методы негладкого анализа для решения модифицированной задачи Дидоны. Применение этих методов ограничивается негладкими интегрантами и абсолютно непрерывными экстремалями.

Для частичной иллюстрации возможностей предложенного нами метода решения задач с разрывным интегрантом будем полагать, что участок Дидоны параллельно береговой линии пересекает канава шириной b -a . Один берег канавы проходит по линии x(t)=a ., а другой - по линии x(t)=b . Участок канавы, ограниченный берегами и веревкой (рис.2), никакого дохода не приносит, и интегрант выглядит так:

 (П.4)

Веревка ограничивает канаву, пересекая ее, но разорвать веревку Дидона не может, поэтому изопериметрическое условие (П.3) остается в силе. Требуется максимизировать доход с участка, расположенного по берегам канавы, ограниченного береговой линией и веревкой.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачать ответы, bestreferat ru.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата