Математическое моделирование при активном эксперименте

| Категория реферата: Остальные рефераты
| Теги реферата: скачать конспект урока, банк курсовых
| Добавил(а) на сайт: Polovcev.

. параметр должен быть статистически эффективным, то есть измеряться с наибольшей точностью;

. параметр должен быть информационным, то есть всесторонне характеризовать технологический процесс (операцию);

. параметр должен иметь физический смысл, то есть должна быть возможность достижения полезных результатов при соответствующих условиях процесса;

. параметр должен быть однозначным, то есть должно минимизироваться или максимизироваться только одно свойство изделия.

За фактор принимают контролируемую величину объекта (изделия, процесса, операции), то есть величину, характеризующую то или иное свойство объекта или режим технологического оборудования. Эта величина, числовое значение которой измеряется в пределах (границах) изменения, должна влиять на параметр оптимизации.

При определении величин количественных оценок во внимание должны приниматься только те факторы, которые имеют четкий метрологический смысл
(возможность измерения фактора с определенной точностью).

Описание исследуемого объекта нельзя получить в виде точной формулы функции, справедливой во всем диапазоне существования аргументов.
Оно может быть лишь приближенным и на небольшом участке в окрестностях выбранной базовой точки. Аппроксимация искомой математической зависимости представляет собой некоторый полином - отрезок ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная зависимость:

|[pic] |(1|
| |) |

где:

[pic]
В силу наличия неуправляемых и даже неконтролируемых входных переменных Xi изменение величины Y носит случайный характер, а потому уравнение (1) не дает нам точной связи между входом и выходом объекта и является лишь условным математическим ожиданием случайной величины Y, т.е. уравнением регрессии.
Чтобы отыскать коэффициенты уравнения регрессии по результатам экспериментов в N точках факторного пространства (что является типичной задачей регрессионного анализа), необходимо выполнение следующих предпосылок:

1. Результаты наблюдений Y1, Y2,...,Yn выходной величины в N точках факторного пространства представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины.

2. Выборочные дисперсии опытов [pic]однородны, т.е. статистически неразличимы. Это требование означает независимость выборочной дисперсии от местоположения точки факторного пространства, в которой проводится конкретный опыт (ротатабельность).

3. Независимые переменные X1, X2,...,Xn измеряются с ошибкой много меньшей, чем величина возможного отклонения выходного параметра Y под влиянием неучтенных факторов.
Тогда задача отыскания коэффициентов уравнения регрессии сводится к решению системы так называемых нормальных уравнений:
|[pic] |(2)|

где Yg- экспериментальные значения выходного параметра, полученные в g-й точке факторного пространства;

[pic]- значение выходного параметра, найденные по уравнению регрессии в тех же точках;

d - количество членов в уравнении регрессии.
Выражение (2) является основным критерием проверки правильности найденного уравнения регрессии.
Чтобы система нормальных уравнений, которая может быть представлена в виде матрицы, имела единственное решение, необходимо, чтобы матрица была невырожденной, т.е. чтобы вектор – столбцы были линейно – независимы. Чтобы величины коэффициентов уравнения регрессии не зависели от числа членов матрицы, нужно на нее наложить дополнительное условие ортогональности вектор столбцов.

1. Полный факторный эксперимент

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующий все возможные повторяющиеся комбинации уровней независимых переменных, каждая из которых принудительно варьируется на двух уровнях
(Рис 1)
|[pic] |
|Рис. 1 Схема перехода в относительные координаты |

Число этих комбинаций N=2n определяет тип планирования.

Для гарантированного получения единственного решения системы нормальных уравнений необходимо иметь ортогональную матрицу планирования, что невозможно обеспечить в абсолютной системе единиц факторов Xi, то есть тогда, когда факторы именованные (например, трудно представить 17 километров ортогональными к 12 килограммам). Поэтому необходимо провести предварительное преобразование каждого фактора - его перевод в систему относительных координат. Такое преобразование легко сделать с помощью переноса начала координат в базовую точку X* и выбора единицы отсчета ?Xi по каждой координате Xi.
|[pic] |(3|
| |) |

Это дает возможность легко построить ортогональную матрицу планирования и значительно облегчает дальнейшие расчеты, так как в этом случае верхние и нижние уровни варьирования Xiв и Xiн в относительных единицах будут равны соответственно xiв = +1 и xiн = -1.

Шаг варьирования по каждой переменной выбирается таким, чтобы приращение величины выходного параметра Y к базовому значению Y* при реализации шага можно было выделить на фоне "шума" при небольшом числе параллельных опытов. Если нет никаких указаний на величину шага ?Xi, то в первом приближении можно выбрать ?Xi= 0,15X*i, т.е. принять за шаг 15%-ное отклонение от базового уровня X*i. Такой шаг дает достаточную гарантию того, что фактор Xi вызовет заметную реакцию Y, если связь между ними существует.
Матрица планирования должна отвечать следующим условиям:

1. Ортогональность

[pic]

2. Условие нормированости