Математическое моделирование при активном эксперименте

| Категория реферата: Остальные рефераты
| Теги реферата: скачать конспект урока, банк курсовых
| Добавил(а) на сайт: Polovcev.

[pic] что доказывает адекватность найденной модели. Ее можно использовать для управления технологическим процессом испытания резисторов

2. Дробный факторный эксперимент

Полный факторный эксперимент целесообразно использовать при сравнительно небольшом числе независимых факторов (обычно не больше 5), в противном случае число вариантов варьирования N = 2n становится непомерно большим и реализация эксперимента затрудняется. В то же время в большинстве практических задач взаимодействия внешних порядков, начиная с третьего (а то и второго), отсутствуют или пренебрежимо малы, вследствие чего излишне много степеней свободы остается на проверку гипотезы адекватности. Если заранее пренебречь взаимодействиями высших порядков, то имеется возможность получить математическую модель при меньшем числу опытов, реализовав не весь план ДФЭ, а только его часть (дробную реплику).

Эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) полного факторного эксперимента, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ).
ДФЭ позволяет получить приближение искомой функциональной зависимости Y = f(X1,...,Xn) в некоторой небольшой окрестности точки базового режима при минимуме опытов.
Так, для решения трехфакторной задачи можно ограничиться четырьмя вариантами (N = 4), если в планировании ПФЭ типа 22 произведение x1x2 приравнять к третьей независимой переменной x3. Такое планирование, представленное матрицей табл 3, позволяет оценить свободный член b0 и три коэффициента регрессии при линейных членах b1,b2,b3 (из четырех опытов нельзя получить более четырех коэффициентов).
|Таблица 3 |
|Полуреплика от ПФЭ типа 23 |
|(планирование типа 23-1) |

аналогично b2 = -1,44; b3 = 0,05.
Проверка значимости полученных оценок начинается с определения их СКО

[pic] откуда
|[pic] |;|[pic] |;|[pic] |

Табличные значения критерия tкр(5%;16) = 2,131, следовательно, модель найдена в виде

[pic]= 14,09 + 1,88x1 - 1,44x2.
Проверка адекватности модели дает
|[pic] |, |[pic] |,|
| |откуд| | |
| |а | | |

т.е. модель признается адекватной экспериментальным данным.

Сравнение моделей примера 1 и примера 2 показывает, что они имеют совершенно разный вид, а по некоторым факторам - противоположные по смыслу оценки коэффициентов. Отсюда можно сделать несколько общих выводов и рекомендаций (без подробного обоснования), пригодных для использования в рамках теории планирования экспериментов:

1. по одним и тем же экспериментальным данным можно построить несколько математических моделей, каждая из которых будет адекватна для своего набора оценок коэффициентов регрессии;

2. из всех моделей наилучшей признается та, у которой меньше членов и меньше критерий Фишера (или, если угодно, меньше дисперсия адекватности);

3. при большом числе факторов работу по математическому моделированию следует начинать с ДФЭ возможно большей дробности. Если модель получилась неадекватной, ее всегда можно достроить до следующей реплики вплоть до ПФЭ. Это сэкономит количество опытов, время, затраты и т.п.

Заключение.

Применение описанных выше методов математического моделирования полностью оправдало себя в условиях с небольшим числом факторов. Но при очень большом числе факторов и привлечение их к составлению математического описания исследуемого объекта методами ПФЭ или ДФЭ может потребовать увеличения объема экспериментальной работы, что редко может выполняться из- за экономических, технологических и прочих ограничений. Таким образом, возникает необходимость в предварительном отсеивании несущественных и выделении тех факторов процесса, которые оказывают наиболее заметное влияние на целевую функцию. Другим существенным затруднением для применения
ПФЭ или ДФЭ в производственных условиях является метод получения оценок коэффициентов регрессии. Оценки вида (11) считаются оптимальными в смысле эффективности (минимума дисперсии), поскольку их вычисление базируется на методе наименьших квадратов, однако предварительным условием такой оптимальности являются требования независимости факторов, ортогональности и симметричности плана эксперимента, а также требование равенства дисперсий условных распределений плотности вероятности f(y/xk). В свою очередь симметричность плана требует равного количества наблюдений, соответствующих положительным и отрицательным значениям k-го фактора.

На практике в производственных условиях требования симметричности плана и равенства дисперсий условных распределений плотности вероятности f(y/xk) эксперимента, как правило, нарушаются, особенно в случаях, когда исследователь пытается построить модель по результатам, зафиксированными для случайной системы комбинаций производственных факторов. При этом всегда имеется выбор: либо нарушить одно из требований факторного анализа, либо потерять часть информации, пытаясь выбрать из нее только то, что согласуется с правилами ведения ПФЭ (ДФЭ).