Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

2 Моделирование портфелей с одинаковыми характеристиками

Несмотря на то что опцион «колл» на акции компании Wopov может показаться несколько необычным инструментом, его характеристики можно воспроизвести комбинацией акций компании Wopov и безрисковых облигаций.
Более того, стоимость воспроизведенного портфеля составляет действительную стоимость опциона. Потому что в противном случае возникнет возможность совершить арбитражную операцию — инвестор может купить наиболее дешевый из двух альтернативных портфелей и продать более дорогой из них и таким образом получить гарантированный доход.

Сначала необходимо определить состав портфеля, который точно повторит выплаты по опциону «колл» на акции компании Wopov. Рассмотрим портфель из
Ns акций компании Wopov и Nb безрисковых облигаций. В «верхнем положении» такой портфель принесет выплаты в размере $125 Ns + $108, ЗЗ Nb , в «нижнем положении» выплаты со-составят $80 Ns +$108,33 Nb В «верхнем положении» опцион стоит $25. Таким образом, Ns и Nb должны иметь такую стоимость, чтобы:

$125 Ns + $108,ЗЗ Nb = $25 (1)

C другой стороны, в «нижнем положении» опцион ничего не стоит. Таким образом, Ns и Nb должны иметь такую стоимость, чтобы:

$80 Ns + $108,33 Nb = $0 (2)

В приведенных линейных уравнениях имеются два неизвестных и они могут быть легко определены. Вычитая второе уравнение из первого, получим:

($125 -$80) Ns =$25 (3)

откуда Ns равно 0,5556. Подставив данное значение в уравнение (1) или уравнение (2), получим значение Nb = -0,4103.

Что это означает на финансовом языке? Это значит, что инвестор может воспроизвести платежи по опциону «колл», осуществив «короткую» продажу безрисковой облигации за $41,03 (заметьте, что инвестирование 0,4103 в 100- долларовую облигацию эквивалентно «короткой» продаже облигации за $41,03 или получение кредита в размере $41,03 по ставке без риска) и купив 0,5556 акций компании Wopov. Что это действительно так, можно увидеть из нижеследующего:

|Состав |Выплаты в «верхнем |Выплаты в «нижнем |
|портфеля |положении» |положении» |
|Инвестиции в |0,5556 х $125,00=69,45|$0,5556х$80,00=44,45 |
|акции | | |
|Выплата займа |-$41,03х1,0833=-44,45 |-$41,03х1,0833=-44,45 |
|Чистая выплата|$25,00 |$0,00 |

Так как воспроизведенный портфель обеспечивает те же выплаты, что и опцион «колл», то для определения действительной стоимости опциона необходимо определить его стоимость. Чтобы сформировать портфель, надо затратить $55,56 на покупку 0,5556 акций компании Wopov (по цене $100 за акцию). Кроме того, $41,03 получается от «короткой» продажи облигации.
Таким образом, требуется только $14,53 ($55,56 -$41,03) собственных средств инвестора. Следовательно, это и есть действительная стоимость опциона
«колл»

В общем виде, стоимость опциона «колл» будет равна:

V0=NsxPs+NbxPb

где V0 - стоимость опциона; Ps — цена акции; Pb — цена безрисковой облигации; Ns. и Nb - число акций и безрисковых облигаций, позволяющих воспроизвести выплаты по опциону.

3 Переоценка стоимости опциона

Чтобы показать, что при цене опциона в $14,53 будет наблюдаться равновесное положение, посмотрим, что может сделать опытный инвестор, если опцион «колл» продается по более высокой или низкой цене. Предположим, опцион «колл» продается за $20, т.е. он переоценен. В этом случае инвестор решит выписать опцион, купив 0,5556 акций и заняв $41,03. Получаемая сумма в этом случае (т.е. для t= 0) составит $5,47 [$20 — (0,5556 х $100) +
$41,03], что показывает чистый приток средств для инвестора, В конце года
(т.е. для t = Т) инвестор получит следующие средства:

|Состав портфеля|Выплата в «верхнем |Выплата в |
| |положении» |«нижнем |
| | |положении» |
|Продажа опциона|-$25,00 |0,00 |
|Инвестиции в |0,5556х$125 = $69,45 |0,5556 х $80 = |
|акции | |$44,45 |
|Возврат займа |-$41,03 х 1,0833 = |-$41,03х 1,0833 |
| |-$44,45 |= -$44,45 |
|Чистые выплаты |$0,00 |$0,00 |

Так как независимо от окончательной цены акции общая стоимость равна нулю, то при осуществлении данной стратегии риск для инвестора отсутствует.
Таким образом, инвестор имеет возможность получать свободные средства до тех пор, пока опцион «колл» стоит $20, так как инвестиционная стратегия не требует в последующем от инвестора больше никаких затрат. Подобная ситуация не может быть равновесной, так как в этом случае любое лицо может получить свободные деньги аналогичным образом

4 Недооценка стоимости опциона

Представим теперь, что опцион «колл» продается за $10 вместо $20, т.е. он недооценен. В этом случае инвестор решит купить один опцион «колл», получив средства от «короткой» продажи 0,5556 акций, и инвестировать $41,03 под безрисковую ставку. Чистая денежная сумма после этого (т.е. для /= 0) составит $4,53 [-$10 + (0,5556 х $100) - $41,03]. Это означает, что инвестор получит чистый приток денежных средств. В конце года (т.е. для t =
7) инвестор получит следующие средства:

|Состав портфеля |Выплата в «верхнем |Выплата в «нижнем |
| |положении» |положении» |
|Инвестиции в |25,00 |0,00 |
|опцион «колл» | | |
|Возврат средств по|-0,5556х $125= -$69,45 |-0,5556 х $80 = -$44,45 |
|«короткой» продаже| | |
|акций | | |
|Безрисковое |$41,03х 1,0833 = $44,45 |$41,03 х 1,0833 = $44,45|
|инвестирование | | |
|Чистые выплаты |$0,00 |$0,00 |

И снова независимо от итогового курса акции общая стоимость портфеля paвна нулю. Это означает, что при осуществлении данной стратегии для инвестора отсутствует риск потерь. Таким образом, инвестор имеет возможность получать свободные деньги до тех пор, пока опцион «колл» стоит
$10. Такая ситуация не может быть равновесной, поскольку любое лицо может получить свободные средства аналогичным образом.

5 Коэффициент хеджирования

Допустим, что мы занимаем $41,03 и покупаем 0,5556 акций компании
Wopov и таким образом, воспроизводим опцион «колл» на эти акции. Теперь рассмотрим то влияние которое окажет на стоимость воспроизведенного портфеля изменение курса акций завтра (а не через год). Так как в портфель входит 0,5556 акций, то стоимость портфеля изменится на $0,5556 при изменении курса акций Wopov на $1. Но так как опцион «колл» и портфель должны продаваться по одной цене, то цена опциона «колл» также должна измениться на $0,5556 при изменении курса акции на $1. Данная взаимосвязь называется коэффициентом хеджирования (hedge ratio) опциона. Он равен числу
Ns которое было определено в уравнении выше.

Для опциона «колл» на акции компании Wopov коэффициент хеджирования составлял 0,5556, что равно ($25 - $0)/($125 - $80). Обратите внимание на то, что числитель равен разности между выплатами по опциону в «верхнем» и
«нижнем» положениях, а знаменатель - разности между выплатами по акции в этих двух положениях. В общем виде в биноминальной модели:

h=(Pou-Pod)/(Pso-Psd)

где P- это цена в конце периода, а индексы обозначают инструмент (о - опцион, s -акция) и положение (и - «верхнее», d - «нижнее»).

Чтобы воспроизвести опцион «колл» в условиях биноминальной модели, необходимо купить h акций. Одновременно необходимо получить под ставку без риска средства путем «короткой» продажи облигации. Эта сумма равна:

B=PV(hPsd- Pod)

где PV- дисконтированная стоимость суммы, указанной в скобках
(стоимости облигации в конце периода). В итоге стоимость опциона «колл» равна:

V0=hPs-B

где h и В - это коэффициент хеджирования и текущая стоимость
«короткой» позиции по облигации в портфеле, который воспроизводит выплаты по опциону «колл».

Вполне резонно усомниться в точности модели ВОРМ, когда она основана на предположении, что курс акции компании Wopov может принимать в конце года только одно из двух значений. В действительности курс акции Wopov может принять в конце года любое из множества значений. Однако это не создает проблемы, так как мы можем развить модель.

Для рассматриваемого случая с акциями компании Wopov разделим год на два периода по шесть месяцев. Предположим, что за первый период курс акции
Wopov может подняться до $111,80 (рост на 11,80%) или снизиться до $89,44
(падение на 10,56%). За следующие шесть месяцев курс акции Wopov может вновь или возрасти на 11,80%, или уменьшиться на 10,56%. Таким образом, курс акции Wopov будет изменяться в соответствии с одним из направлений
«дерева цены» на рис. 2(б) за следующий год. Теперь акция Wopov может в конце года иметь один из следующих курсов: $125, $100 или $80. На рисунке также приводится соответствующая стоимость опциона для каждого значения курса акции.

Как по данным рисунка можно определить стоимость опциона «колл» на акции компании Wopov в момент времени 0? Ответ весьма прост. Изменение состоит лишь в том, что проблема разбита на три части, каждая из которых решается таким же образом, как было показано ранее при обсуждении рис.
2(а). Три части должны рассматриваться последовательно в обратном порядке.

10 Для опционов «пут»

Можно ли использовать модель ВОРМ для оценки стоимости опционов «пут»?
Так как формулы охватывают любой набор выплат, то их можно использовать для этой цели. Рассмотрим еще раз акции компании Wopov в случае годичного периода, при этом цена исполнения опциона «пут» — $100, дата истечения — один год с сегодняшнего числа. «Дерево цены» будет выглядеть следующим образом:

$125 Р0 = 0

$80 Р0 = $20

Коэффициент хеджирования для опциона «пут» -0,4444 [($0-$20) /($125 -
$80)]. Это отрицательная величина. Она означает, что повышение курса акции приведет к уменьшению цены опциона.

В равно - $51,28. Это - дисконтированная стоимость величины, которая в конце года составляет - $55,55. Так как это отрицательные величины, то они означают сумму, которую надо заплатить за облигации (т. е. отрицательная стоимость «короткой» позиции может рассматриваться как стоимость «длин ной» позиции).

Чтобы воспроизвести опцион «пут», следует осуществить «короткую» продажу 0,4444 акций Wopov и предоставить кредит (т.е. инвестировать в безрисковую облигацию) $51,28. Так как «короткая» продажа принесет $44,44, а за облигацию будет уплачено $51,28, то чистая стоимость воспроизведения портфеля составит $6,84 [($51,28 – (-$44,44))]. Таким образом,,это и есть действительная цена опциона «пут».

Это та же цена, что и полученная из уравнения (20.7): $6,84 [0,4444 х
$100 -(-$51,27)] где h = 0,4444, В = -$51,28 и Ps= $100. Таким образом, полученные выше уравнения для опциона «колл» можно использовать применительно к опционам «пут».

4. Модель Блэка-Шоулза

ФИШЕРОМ БЛЭКОМ (FISHER BLACK) И МЕРТОНОМ ШОУЛЗОМ БЫЛА РАЗРАБОТАНА
ФОРМУЛА ДЛя ОЦЕНКИ ОПЦИОНОВ, чТО ПОСЛЕ ЕЕ ОПУБЛИКОВАНИя В 1973Г. ПОЗВОЛИЛО
ОТОЙТИ ОТ СУБЪЕКТИВНО- ИНТУИТИВНЫХ, НЕ ТОчНЫХ ОЦЕНОК ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЦЕНЫ
ОПЦИОНОВ И ПОДВЕСТИ ПОД НЕГО ТЕОРЕТИчЕСКУЮ БАЗУ.

Современное управление рисками, применяемое в страховании, торговле на фондовом рынке и инвестировании, основывается на возможности использовать математические методы для предсказания будущего. Конечно, не со 100%-ной вероятностью, но достаточно точно для того, чтобы принять взвешенное инвестиционное решение. Основополагающий принцип работы на финансовых рынках состоит в следующем: чем больший риск вы готовы на себя принять, тем на большее вознаграждение вы вправе рассчитывать. Использование математики никогда не сможет полностью элиминировать риск, но может помочь правильно оценить степень принимаемого на себя риска и решить вопрос о справедливом вознаграждении. В моделе Блэка-Шоулза опцион рассматривается как функция следующих элементов:

Цена базового актива и цена страйк (цена исполнения). Наиболее важный фактор, влияющий на цену опциона. Как уже говорилось ранее это соотношение между ценой лежащего в основе опциона актива и ценой страйк. Это соотношение определяет статус опциона ("в деньгах" или "вне денег") и внутреннюю стоимость опциона (величина, на которую цена базового актива выше или ниже цены страйк для опционов колл и пут соответственно).

Время, остающееся до даты истечения опциона. Время работает против покупателя опционов, так как цена опционов вне денег снижается ускоренными темпами с приближением даты их истечения. Этот эффект называется
"разрушение временем" (time decay). Больший срок, остающийся до окончания срока действия опциона, означает большую неопределенность.

Степень колебаний (волатильность). Этот показатель отражает подверженность базового актива ценовым колебаниям. Величина премии по опционам в деньгах прямо пропорциональна ожидаемой ценовой неустойчивости базового актива.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат, сочинение евгений онегин.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата