Предыдущая страница реферата | 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 | Следующая страница реферата

Как видим, получили совсем не Даламбера, а другое уравнение (в которое входит v).

Таким образом, мы доказали, что одномерное волновое уравнение не инвариантно относительно преобразований Галилея.

Остановимся на выяснении физического смысла полученного результата.
Для определенности представим себе обычные звуковые волны в воздухе. Они являются малыми возмущениями плотности и давления малых частиц воздуха, и в так называемом акустическом приближении (когда амплитуды этих возмущений малы) описываются волновым уравнением Даламбера

[pic] когда речь идет о плоских волнах, распространяющихся вдоль оси x.

Это уравнение, однако, математически описывает звуковую волну только в покоящемся воздухе. Если мы хотим описать звуковую волну в движущемся воздухе (движущемся равномерно прямолинейно со скоростью v вдоль оси x в отрицательном направлении оси x в лабораторной системе отсчета), то мы должны использовать не приведенное волновое уравнение, а только что выведенное более сложное уравнение

[pic]

Таким образом, волновое уравнение для звука в движущейся среде отличается по виду от волнового уравнения для звука в покоящейся среде. И нет ничего удивительного в том, что волновое уравнение не инвариантно относительно преобразований Галилея. Мы неявно предположили, что исходная система K - это система отсчета, в которой среда (воздух) покоится.

Поясним сказанное подробнее. Пусть у нас имеется тело, движущееся со скоростью v вдоль оси x и пусть в этом теле распространяется волна в положительном или отрицательном направлении оси x.

[pic]

Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x.
Относительно взятой системы отсчета она имеет скорость cдв = c + v. Таким образом, если форма волны в нулевой момент времени дается функцией f(x), которая может быть взята произвольной, то в момент времени t она будет описываться функцией

[pic]

Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно

[pic] [pic]

Поэтому функция u удовлетворяет следующему уравнению

[pic] которое можно представить в виде

[pic]

Подействуем на это уравнение справа и слева дифференциальным оператором

[pic] и получим уравнение

[pic]

Следовательно, раскрывая скобки, имеем уравнение

[pic] члены со смешанной производной, пропорциональные c, взаимно сокращаются. Разделив на c2, окончательно приходим к уравнению

[pic] которое в точности совпадет с уравнением, полученным выше.

Рассмотрим теперь волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси x. Относительно нашей системы отсчета волна будет двигаться со скоростью cдв = c - v.

Если форма волны в нулевой момент времени t = 0 дается функцией g(x), которая может быть совершенно произвольной, то в момент времени t она будет описываться функцией

[pic]

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты помощь, сжатое изложение.





Предыдущая страница реферата | 6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 | Следующая страница реферата