Содержание.

Введение....................................................................
....................................................3
§ 1. Материальные уравнения электромагнитного поля в среде с дисперсией.....5
§ 2. Закон дисперсии. Вектор объемной плотности поляризации.........................10
§ 3. Зависимость показателя преломления и поглощения от частоты..................12
Заключение..................................................................
...............................................15
Литература..................................................................
................................................16

Введение.

Важнейшей характеристикой линейной распределенной системы является закон дисперсии, который связывает волновое число и частоту монохроматической волны. Он может быть записан как [pic], [pic] или в неявной форме [pic].

Когда плоская волна описывается одним (вообще говоря, интегродифференциальным) уравнением, закон дисперсии получают, отыскивая его решение в виде [pic]. В простейшем случае процесс распространения волны описывается уравнением

[pic].
При этом волновое число связано с частотой линейной зависимостью [pic], или
[pic], где скорость распространения волны [pic] есть постоянная величина.
Однако уже при учете диссипативных процессов поведение волны описывается более сложными уравнениями. Закон дисперсии [pic] также усложняется. Для звуковых волн в вязкой теплопроводящей среде и электромагнитных волн в среде с проводимостью справедливы следующие соотношения между волновым числом и частотой:

[pic].
В более общих случаях от частоты могут сложным образом зависеть действительная и мнимая части волнового числа:

[pic].
Действительная часть характеризует зависимость от частоты фазовой скорости распространения волны [pic], а мнимая часть — зависимость коэффициента затухания волны от частоты.

Во многих случаях волновой процесс удобно описывать не одним уравнением типа волнового, а системой связанных интегродифференциальных уравнений
[pic]. Здесь [pic] — матричный оператор, действующий на вектор-столбец
[pic].В качестве [pic], например, для акустических волн может служить совокупность переменных [pic] (колебательная скорость, приращения плотности, давления, температуры), а для электромагнитных волн — компоненты векторов напряженностей электрического и магнитного полей, электрического смещения и магнитной индукции. В этом случае формальная схема отыскания закона дисперсии такова. Ищем решение системы в виде [pic]:

[pic],
Решение будет нетривиальным, только если [pic]. Отсюда получаются искомые зависимости [pic]. Наличие у дисперсионного уравнения нескольких корней
[pic] означает, что система может описывать несколько типов собственных волн (мод) среды.

Частотная дисперсия приводит к изменению закономерностей распространения немонохроматических волн. Действительно, различные спектральные компоненты обладают в диспергирующей среде отличающимися скоростями и коэффициентами затухания:

[pic].
В силу дисперсии фазовой скорости в процессе распространения изменяются фазовые соотношения между спектральными компонентами. Следовательно, изменяется результат их интерференции: форма немонохроматической волны искажается. Дисперсия коэффициента поглощения [pic] приводит к трансформации частотного спектра волны [pic] и дополнительному искажению формы импульса.
§1. Материальные уравнения электромагнитного поля в среде с дисперсией.

Дисперсионные эффекты часто проявляются при распространении электромагнитных волн. Покажем, как видоизменяются исходные уравнения при учете этих свойств. Система уравнений Максвелла сохраняет свой вид.
Свойства среды должны быть учтены в материальных уравнениях:

[pic].
Для статических и медленно изменяющихся полей можно написать

[pic], где [pic] — константы, т. е. значения [pic] и [pic] в некоторой точке среды и в некоторый момент времени определяются значениями [pic] и [pic] в той же точке и в тот же момент времени.

При быстром изменении поля вследствие инерции внутренних движений и наличия пространственной микроструктуры среды наблюдается зависимость поляризации от поля, действующего в других точках и в другие моменты времени. При этом нужно иметь в виду, что в силу условия причинности поляризация и, следовательно, индукция зависят от полей, действовавших только в предыдущие моменты времени.

Сказанное можно записать математически, представляя материальные уравнения в общей интегральной форме:

[pic], (1.1)

[pic], (1.2)

[pic]. (1.3)
По дважды встречающимся индексам здесь и везде в дальнейшем предполагается суммирование.

Выражения (1.1) — (1.3) представляют собой наиболее общую функциональную форму записи материальных уравнений для линейной среды. В этой записи учтена возможность проявления нелокальности, запаздывания и анизотропных свойств среды.

В частном случае, если среда однородна в пространстве и не изменяет со временем своих свойств, материальные характеристики [pic], [pic], [pic] должны зависеть лишь от разностей координат [pic] и времени [pic]. Тогда

[pic], (1.4)

[pic], (1.5)

[pic]. (1.6)
Связь между электрическим смещением и магнитной индукцией, полями и поляризациями среды определяется соотношениями