Математический маятник

| Категория реферата: Рефераты по физике
| Теги реферата: бесплатные решебники скачать, решебник по геометрии атанасян
| Добавил(а) на сайт: Jandul'skij.

[pic], (3)

будем окончательно иметь:

[pic],

[pic],

[pic],

[pic]. (4)

Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в начальный момент маятник отклонён от вертикали на угол ( и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия будут: при t = 0, [pic]. (5)

Из интеграла энергии:

[pic], (6)

где V — потенциальная энергия, а h — постоянная интегрирования, следует, что при этих условиях в любой момент времени угол (((0. Значение постоянной h определяется по начальным данным. Допустим, что угол (0 мал ((0(1); тогда угол ( будет также мал и можно приближённо положить sin(((. При этом уравнение (4) примет вид

[pic]. (7)

Уравнение (7) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид

[pic], (8)

где A и B или a и ( суть постоянные интегрирования.

Отсюда сразу находим период (T) малых колебаний математического маятника (период — промежуток времени, в течении которого точка возвращается в прежнее положение с той же скоростью)

[pic] и [pic]

[pic],

т.к. sin имеет период равный 2(, то (T=2( (

[pic] (9)

Для нахождения закона движения при начальных условиях (5) вычисляем:

[pic]. (10)

Подставляя значения (5) в уравнения (8) и (10), получим:

(0 = A, 0 = (B, т.е. B=0. Следовательно, закон движения для малых колебаний при условиях
(5) будет:

( = (0cos (t. (11)

Найдём теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике.
Определим сначала первый интеграл уравнения движения (4). Так как