Математический маятник

| Категория реферата: Рефераты по физике
| Теги реферата: бесплатные решебники скачать, решебник по геометрии атанасян
| Добавил(а) на сайт: Jandul'skij.

откуда

[pic].

Кроме того,

[pic].

Подставляя все эти величины в уравнение (17) и заменяя ( его значением (3), получим:

[pic]. (19)

По принятым начальным условиям (15) при t=0 угол (=0, а следовательно, как видно из (18), и (=0. Тогда, беря от обеих частей уравнения (19) определённые интегралы справа от 0 до t, а слева от 0 до (, получим закон движения маятника в виде

[pic]. (20)

Интеграл, стоящий в левой части равенства (20), представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Величина k называется модулем эллиптического интеграла. Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т.е.

[pic]. (21)

Если в равенстве (21) рассматривать верхний предел ( как функцию от интеграла u, то такая функция носит название амплитуды u и обозначается так:

[pic],

или

[pic]. (22)

Беря от обеих частей равенства (22) синус, мы получим:

[pic]. (23)

Функция snu (синус-амплитуда u) представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (20), [pic], то, переходя в равенстве (23) от ( к ( с помощью формулы (18), найдём закон движения маятника, выраженный эллиптическую функцию sn, в виде

[pic]. (24)

Период колебаний

Найдём период T колебания маятника. Из положения ( = 0 в положение ( =
(0 маятник приходит за четверть периода. Так как, согласно равенству (18), при ( = 0 и ( = 0, а при ( = (0 величина [pic], то из уравнения (20) имеем:

[pic]. (25)

Таким образом, определение периода колебаний маятника сводится к вычислению величины

[pic], (26)

представляющий собой четверть периода эллиптического интеграла (21).

Известно (формула Валлиса), что