|“Согласовано” |“Утверждено” |
|Преподаватель Джежеря Ю.И. |Методист ____________________|
|___________ | |
| | |

План-конспект занятия

По теоретической физике

Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61

Филатова Александра Сергеевича

Дата проведения занятия: 20.12.2000

Тема: «Канонические преобразования. Функция Гамильтона-Якоби. Разделение переменных»

Цели: Развить навык использования канонических преобразований. Закрепить умение осуществлять преобразования Лежандра для перехода к производящей функции от необходимых переменных. Научить использовать метод Гамильтона-
Якоби при решении задач с разделением переменных. Сформировать понимание сути и могущественности метода. Воспитывать трудолюбие, прилежность.

Тип занятия: практическое.

Ход занятия

Краткие теоретические сведения

Канонические преобразования

Канонические преобразования переменных – это такие преобразования, при которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования производят с помощью производящей функции, которая является функцией координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции определяется следующим образом:

[pic] (1)

Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем соответствующий вид канонических преобразований. Заметим, что если частная производная будет браться по "малым" [pic], то будем получать малое [pic], если же по "большим" [pic], то и получать будем соответственно [pic].

Функция Гамильтона-Якоби

При рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует выражение для импульса:

[pic] (2)

Из представления полной производной действия по времени следует уравнение Гамильтона-Якоби:

[pic] (3)

Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: [pic].

Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби (3), находят представление действия в виде полного интеграла, который является функцией s координат, времени, и s+1 постоянных (s – число степеней свободы).
Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл имеет вид:

[pic] (4)

Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь s констант меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными условиями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби.

Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом (4) уравнения Г.-
Я. (3) и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве производящей функции.