где блоки Хm, представляют собой матрицы размерности 2 х 2, расположенные на главной диагонали. Собственные значения блоков Хm, являются в то же время собственными значениями исходной матрицы размерности п x п. Такая форма удобна, так как детерминант второго порядка блоков Хm позволяет определять комплексные собственные значения, не вводя комплексных элементов в окончательную матрицу. Если все собственные значения исходной матрицы действительные, то в окончательном виде она будет треугольной, причем собственные значения будут расположены на диагонали. Метод LR Этот метод первоначально был разработан Рутисхаузером в 1958 г. Метод основан на представлении матрицы A в виде произведения А = LR, где L — левая треугольная матрица с единичными диагональными элементами, а R — правая треугольная. Применяя преобразование подобия L-1 A R, видим, что, A2 = L-1 A R = L-1 (RL)L = R L. Следовательно, Am-1 = L m-1 Rm-1, Am = R m-1 Lm-1. Этот процесс повторяется до тех пор, пока Ls не превратится в единичную матрицу Е, а Rs не приобретет квазидиагональную форму. Хотя этот метод очень удобен, он не всегда устойчив. Поэтому предпочтение часто отдают другому методу. Метод QR Метод QR. предложен Фрэнсисом в 1961 г. Соответствующий ему алгоритм определяется соотношением Am = Q m Rm. где Q m — ортогональная матрица, а Rm — верхняя треугольная матрица. При использовании метода последовательно получаем Am+1 = Q mT Am Q m = Q mT Q m Rm Q m = Rm Q m. В пределе последовательность матриц А стремится к квазидиагональной форме. Этот метод сложнее предыдущего и требует больших затрат машинного времени. Однако его устойчивость,обусловленная использованием ортогональных преобразующих матриц, обеспечила ему прочную репутацию лучшего метода решения задач самой общей формы. Пример 3 Пусть требуется найти все собственные значения произвольной матрицы размерности 6 x 6
|
Главная