Алгебраические расширения полей
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: реферат мировые войны, культурология
| Добавил(а) на сайт: Меркурия.
Предыдущая страница реферата | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | Следующая страница реферата
расширении нет большего числа таких изоморфизмов поля S.
Доказательство. Для m = 1 теорема уже была доказана выше. Предположим ее справедливой для расширения S1 = D(a1..., am-1): в некотором подходящем расширении
m-1
W1 есть ровно Õ ni¢ изоморфизмов поля S над D.
1 m-1
Пусть S1®S1— один из этих Õ ni¢ изоморфизмов. Утверждается, что в подходящим образом выбранном поле W он может быть продолжен до изоморфизма S = S1 (am) @ S= S(am) не более чем n¢m способами.
Элемент am удовлетворяет некоторому уравнению f1(x) = 0 над S1 с n¢m различными корнями. С помощью изоморфизма S1®S1многочлен f1(x) переводится в некоторый многочлен f1(x). Но тогда f1(x) в подходящем расширении имеет опять-таки n¢m различных корней и не больше. Пусть am— один из этих корней. В силу выбора элемента am изоморфизм S1@S1 продолжается до изоморфизма S (am) @ S (am) с am®am одним и только одним способом: действительно, это продолжение задается формулой
åckamk ®å ckamk
Так как выбор элемента am может быть осуществлен n'm способами, существует n'm продолжений такого сорта для выбранного изоморфизма å1®å1
Так как в свою очередь этот изоморфизм может быть выбран
m-1
Õ n'i способами,
1
то всего существует (в том поле W, в котором содержатся все корни всех рассматриваемых уравнений)
m-1 m
Õ n'i×n'm = Õ n'i
1 1
изоморфизмов расширения S над полем D, что и требовалось доказать.
Если ni — полная (нередуцированная) степень элемента ai над D (a1,...,ai-1), то ni равно степени расширения D (a1, ... , ai) поля D(a1... , ai-1);
следовательно, степень (S : D) равна
m
Õ n'i .
1
Если сравнить это число с числом изоморфизмов
m
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: культурология, сочинение 3.
Категории:
Предыдущая страница реферата | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | Следующая страница реферата
Главная