Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Определение. Пусть a — алгебраический элемент над полем P. Минимальным полиномом элемента a, над P называется нормированный полином из P[x] наименьшей степени, корнем которого является a. Степень минимального полинома называется степенью элемента a над P.

Легко видеть, что для всякого элемента a, алгебраического над P , существует минимальный полином.

Предложение 1.3. Если а — алгебраический элемент над полем P, а g и j — его минимальные полиномы над P, то g=j.  

Доказательство. Степени минимальных полиномов g и j совпадают. Если g ¹ j, то элемент a (степени n над P) будет корнем полинома g - j, степень которого меньше степени полинома j (меньше n), что невозможно. Следовательно, g=j.  

Теорема 1.4. Пусть a — алгебраический элемент степени n над полем P (aóP) и g — его минимальный полином над P. Тогда:

(а) полином g неприводим в кольце P [x];

(b) если f (a) = 0, где f 0 P[x], то g делит f;

(с) фактор-кольцо P [x]/(g) изоморфно кольцу P [a];

(d) P [x]/(g) является полем;

(е) кольцо P [a] совпадает с полем P (a).

Доказательство. Допустим, что полином g приводим в кольце P [x], т. е. существуют в P[x] такие полиномы j и h, что

g = jh, 1£deg j, deg h1 над полем P; f и h — полиномы из кольца полиномов P [x]и h(a) ¹0. Требуется представить элемент f(a)/h(a)0P(a) в виде линейной комбинации степеней элемента a, т. е. в виде j(a),

где j0P[x].

Эта задача решается следующим образом. Пусть g — минимальный полином для a над P. Так как, по теореме 1.4, полином неприводим над P и h(a) ¹ 0, то g не делит h и, значит, полиномы h и g — взаимно простые. Поэтому существуют в P[x] такие полиномы u и v, что

uh+vg=1    (1)

Поскольку g(a) = 0, из (1) следует, что

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Следовательно, f(a)/h(a) = f(a)u(a), причем f,u 0P[x] и f(a)u(a)0P[a]. Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби f(a)/h(a) .

Пример.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

.

Решение. В нашем случае a=. Минимальным многочленом этого числа является

p(x)=x3-2.

Многочлены p(x) и g(x)=-x2+x+1 взаимно просты. Поэтому существуют такие многочлены j и y, что

pj+gy=1.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: культурология, сочинение 3.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата