Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата

f(x) =3anxn         fN(x) =3nanxn-1

          0                 1   

Так как fN(x) = О, в нуль должен обращаться каждый коэффициент:

nan = 0  (n = l, 2, ..., n).

В случае характеристики нуль отсюда следует, что an = 0 для всех n ¹ 0. Следовательно, непостоянный многочлен не может иметь кратных корней. В случае же характеристики p равенства nan = 0 возможны и для n ¹ 0, но тогда обязаны выполняться сравнения

nº0(p).

Таким образом, чтобы многочлен f(x) обладал кратными корнями, все его слагаемые должны обращаться в нуль, за исключением тех anxn, для которых nº0(p), т. е. f(x) должен иметь вид 

      f(x) = a0+apxp+a2px2p+…

Обратно: если f(x) имеет такой вид, то fN(x)=0.  

В этом случае мы можем записать:

f(x) = j(xp).

Тем самым доказано утверждение: В случае характеристики нуль неразложимый в D [x] многочлен f (x) имеет только простые корни, в случае оке характеристики p многочлен f(x) (если он отличен от константы) имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его можно представить как многочлен j от xp.

В последнем случае может оказаться, что j(x) в свою очередь является многочленом от xp. Тогда f(x) является многочленом от xp2. Пусть f(x) — многочлен от xpe

f(x) = y( xpe),

но не является многочленом от xpe+1. Разумеется, многочлен y(у) неразложим. Далее, y¢(у) ¹ 0, потому что иначе y(у) имел бы вид c(ур) и, следовательно, f(x) представлялся бы в виде c(хpе+1), что противоречит предположению. Следовательно, y(у) имеет только простые корни.

Разложим многочлен y(у) в некотором расширении основного поля на линейные множители:     m  

           y(y) = J(y-bi).

              1 

Тогда

             m

           f(x) = J( xpe -bi)

             1  

Пусть ai— какой-нибудь корень многочлена xpe -bi. Тогда xipe = bi,

xpe -bi = xpe – aipe = (x-ai) pe.

Следовательно, ai является ре-кратным корнем многочлена xpe -bi и

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: культурология, сочинение 3.





Предыдущая страница реферата | 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 | Следующая страница реферата