Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Это предложение непосредственно следует из теоремы 1.5.

Определение. Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебраическим над P.

Теорема 2.2. Любое конечное расширение F поля P является алгебраическим над P.

Доказательство. Пусть n-размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если n = 0. Предположим, что n>0. Любые n+1 элементов из F линейно зависимы над P. В частности, линейно зависима система элементов 1, a, ..., an, т. е. существуют в P такие элементы  с0, с1,…,cn не все равные нулю, что с0×1+ с1a+…+cn an = 0.

Следовательно, элемент a является алгебраическим над P.  

Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.

2.2. Составное алгебраическое расширение поля.  

Расширение F поля P называется составным, если существует

возрастающая цепочка подполей L i поля F такая, что

P = L0 — L1 —…— Lk= F и k>1.

Теорема 2.3. Пусть F — конечное расширение поля L и L — конечное расширение поля P. Тогда F является конечным расширением поля P и

[F : P] = [F : L]@[ L : P].  

Доказательство. Пусть

(1) a1,…,am — базис поля L над P (как векторного пространства) и

(2) b1,…,bn — базис поля F над L . Любой элемент d из F можно линейно выразить через базис:

(3) d = l1b1+...+lnbn (lk 0L).

Коэффициенты 1k можно линейно выразить через базис (1):

(4) lk = p1k a +…+ pmk am (pik0P).

Подставляя выражения для коэффициентов lk в (3), получаем

d = å pik aibk.

i0{1,…,m}

k0{1,…,n}

Таким образом, каждый элемент поля F представим в виде линейной комбинации элементов множества B, где

B = { a ibk½{1,..., m}, k 0 {l,..., n}}.

Отметим, что множество B состоит из nm элементов.

Покажем, что B есть базис F над полем P. Нам надо показать, что система элементов множества B линейно независима. Пусть

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: культурология, сочинение 3.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата