Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.

Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.
Решение: Рассмотрим 1-ю функцию y = arcsin(1/x)
Д(f): | 1/x | ? 1 ,

| x | ? 1 ,
( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )

Функция нечетная

( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;?/2] )

Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є
[-?/2; ?/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)

Д(f): ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )

Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).
Решение:
Д(f): [-1;1]
Четная f(x) убывает на пр. [0;1] f(x) возрастает на пр. [-1;0]

Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).
Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2 f(z) убывает на пр. [-1;1] от ? до 0. f(y) убывает на пр. [-1;1] от ?2 до 0.

Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))
Решение:
Д(f): ( - ? ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +? )
Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:
[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +? )

|X |0 |< x |1 |< x |+? |
| | |< | |< | |
|u=1/(x2-1|-1 |? |+ ? |? |0 |
|) | | |- ? | | |
|y=arctg(u|- |? |?/2 |? |0 |
|) |?/4 | |- ?/2| | |

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой- либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] ) tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x

(справедливо при любых x )
Графическое различие между функциями, заданными формулами:

y=x и y=sin(arcsin(x))

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

|Аргумент |arcsin(x) |arccos(x) |arctg(x) |arcctg(x) |
| | | | | |
|функция | | | | |
|sin |sin(arcsin(x))=|[pic] |[pic] |[pic] |
| |x | | | |
|cos |[pic] |x |[pic] |[pic] |
|tg |[pic] |[pic] |x |1 / x |
|ctg |[pic] |[pic] |1 / x |x |

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и ? = arcsin(x)

[pic]

[pic]

Перед радикалом [pic]следует взять знак “+”, т.к. дуга
[pic]принадлежит правой полуокружности (замкнутой) [pic], на которой косинус неотрицательный.