Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

По инициативе и настоянию Д. Бернулли в 1727 г. в Петербург был приглашен великий Л. Эйлер. Он занял место адъюнкта на кафедре анатомии и физиологии и подготовил трактат «Основы движения крови по артериям». Но интересы Эйлера лежали в другом русле: его занимало как развитие самой математики, так и применения ее к механике, физике, астрономии, и в 1731 г. он перешел на кафедру физики, в 1733 г.—на кафедру математики.

По распоряжению президента Академии наук Блюментроста каждый профессор обязан был написать какой-либо трактат.

   В 1732 г. Бернулли опубликовал работу «Замечания о рекуррентных последовательностях», где изложил метод решения алгебраических уравнений, не нуждающийся в предварительном определении границ, между которыми лежат положительные и отрицательные корни.

Слово рекуррентный означает возвратный. Рекуррентными формулами в математике называются такие, в которых какая-либо последующая величина вычисляется через предыдущие. Таковы же и последовательности. Именно: последовательность называется рекуррентной, если ее n-й член выражается через некоторые предыдущие линейно: an=a1an-1+aan-2+…+akan-k. К рекуррентным последовательностям относятся, например, известные геометрическая и арифметическая прогрессии, для которых an =an-1q, an=an-1q+d, где q — знаменатель геометрической прогрессии, d — разность арифметической. Могут быть и рекуррентные степенные ряды, т. е. ряды, коэффициенты которых образуют рекуррентные последовательности. Такие ряды рассматривал до Д. Бернулли А. Муавр в «Philosophical Transactions» за 1722 г. А. Муавр пришел к ним при решении одной вероятностной задачи.

Д. Бернулли предложил свой метод решения уравнений без обоснования, которое дано было впоследствии Л. Эйлером. Рассмотрим уравнение

a0xn +a1xn-1+a2xn-2+…+an=0                  (1)

и предположим, что оно имеет действительные различные корни x1, x2,…, xn. Составим конечно-разностное уравнение                                           

a0yn+i+a1yn+i+…+anyi=0 (i = 0, 1, 2,…),    (2)

в которое войдут коэффициенты аk (k=0; 1; 2;...) уравнения (1). Уравнение (2) представляет собой рекуррентное соотношение для последовательности

y0,y1,y2,…уi,….                                     (3)

Эта последовательность определяет решение конечноразностного уравнения (2). Для нахождения решения у1 нужно задать п начальных значений  y0, y1,..., yn-1;

остальные уn, yn+1,…можно определить из уравнения (2).

В теории конечных разностей доказывается, что если корни x1, x2,…,xn уравнения (1) различны, то решения, конечно-разностного уравнения (2) имеют вид

yi=C1x1i+C2x2i+…+Cnxni  (i=0, 1, 2,…),    (4)

где C1, С2,…, Сn — произвольные постоянные, которые можно определить из начальных условий:

y0=C1+C2+...+Cn,                      (5)

y1=C1x1+C2x2+…+Cnxn,

yn-1=C1x1n-1C2x2n-2+…+Cnxnn-1.

Докажем теорему: если алгебраическое уравнение (1) имеет единственный наибольший по модулю корень x1, то отношение двух последовательных членов yi+1 и y1, решения конечно-разностного, уравнения (2) стремится при i®¥ к пределу, равному x1

         yi+1

lim ——— = x1.

i®¥     yi

Предположим, что |x1|>|x2|≥…≥|xn|. Если корни хk (k=1, 2,..., n) различны, то из (4) получим

yi=x1i[C1+C2(x2/x1)i+…+Cn(xn/x1)i],

yi+1=x1i+1[C1+C2(x2/x1)i+1+…+Cn(xn/x1)i+1],

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: жизнь реферат, реферат по физкультуре.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата