Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

R(X,Y)Z=ÑxÑy(z)- ÑyÑx(z)- Ñ[x,y](z).

Кривизной по двумерному направлению X,Y называется число R(s)=(R(X,Y)X,Y), где  X, Y – заданные векторные поля.

Теорема. Пусть M – двумерное риманово многообразие и K(P) – гауссова кривизна, тогда R(s)=K(P).

Коммутатором ковариантного дифференцирования тензора наз. тензор  [Ñk,Ñl](Ti)=Tq, где [Ñk, Ñl] =(ÑkÑl  - ÑlÑk), и   T=(Ti) – тензорное поле на заданном мн-зии.

Кососимметричным тензорным полем наз. такое тензорное поле , что его компоненты меняют знак при транспонировании любых двух соседних индексов одного типа.

Дивергенцией векторного поля по определению называют тензор

Div(Ti)=.

Внешним умножением  кососимметричных тензоров j1 и j2 называется тензор  j1^j2=(j1Äj2)alt. Оно линейно, антикоммутативно.

Св-во. Пусть j1 и j2 кососимметричные тензоры типа (p,0) и (q,0), тогда j2^j1=(-1)pqj1^j2.

Алгеброй дифференциальных форм Ù(Mn) наз. алгебра, представителями которой являются линейные комбинации w(k)= и комбинации где  – кососимметричное тензорное поле ранга q и индексы j1…jq упорядоченные в порядке возрастания. 

Внешними дифференциальными формами называются элементы алгебры дифференциальных форм w(k). Они инвариантны относительно замены координат т.е.

.

Теорема. Многообразие ориентируемо титт, когда на нем задана  диф. форма w, отличная от нуля во всех точках    мн-я.

Теорема. Размерность дифференциальных форм степени k равна .

Rot(¦):=; Div(¦ ):=.

Градиентом внешней формы w наз. внешняя д.ф. dw, компоненты которой в локальной системе координат (x1,…,xn) имеют вид:

=. Grad(¦):=.

Градиент внешней формы линеен и обладает следующими свойствами:

1) d(w1Ùw2)=dw1Ùw2+w1 Ùdw2.

d(dw)=0.

Замкнутой внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. с нулевым градиентом.

Точной внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. , если ее можно представить в виде градиента некоторой дифференциальной формы.

Носителем дифференциальной формы наз. Замыкание множества,  на котором дифференциальная  форма отлична от нуля.

Сосредоточенной , относительно заданной точки, дифференциальной формой  наз. такая д.ф., что  она отлична от нуля в достаточно малой окрестности заданной точки.

Ограничением дифференциальной формы по отношению к мн-зию М наз. такая д.ф. над подмн-зием К мн-зия М, что она тождественно равна исходной дифференциальной форме на подмн-зии К и нулю вне его.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: allbest, сочинение сказка.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата