Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

[pic]

(2).
Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд
(2) равномерно сходится на промежутке [pic] и воспользоваться теоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s0>1 и представим ряд (2) в виде [pic] для s>s0. Множители [pic], начиная с n=2, монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку
Абеля ряд (2) сходится равномерно при s>s0, а значит и при любом s>1. Какое бы значение s>1 ни взять его можно заключить между [pic] и [pic], где
[pic], а [pic]; к промежутку [pic] применима вышеуказанная теорема.

Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:

[pic].

Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки s=1.

В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теореме о почленном переходе к пределу, имеем [pic]. При n=1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому [pic].

Чтобы исследовать случай [pic], докажем некоторые вспомогательные оценки.

Во-первых, известно, что если для ряда [pic] существует непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция [pic], определённая на множестве
[pic], такая, что [pic], и имеет первообразную [pic], то остаток ряда оценивается так: [pic], где [pic]. Применяя вышесказанное к ряду
(1), найдём, что необходимая функция
[pic], а [pic] и [pic]. Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем

[pic] (3).
В левом неравенстве положим n=0, тогда [pic], то есть [pic]. В правом же возьмём n=1 и получим [pic], далее [pic], [pic] и, наконец, [pic]. Переходя в неравенствах [pic] к пределу при [pic], находим [pic].

Отсюда, в частности, следует, что [pic]. Действительно, положим [pic].
Тогда [pic], то есть [pic] [pic]. Поэтому [pic]. Из того, что [pic], а
[pic], вытекает доказываемое утверждение.

Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше, принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n равенства [pic]. Прибавим ко всем частям неравенств (3) сумму [pic] и вычтем [pic]. Имеем [pic]. Пусть здесь s стремится к единице. По правилу
Лопиталя легко вычислить [pic] и [pic]. Мы пока не знаем, существует ли предел выражения [pic] при [pic], поэтому, воспользовавшись наибольшим и наименьшим пределами, напишем неравенства так: [pic]
[pic]. Ввиду произвольности n возьмём [pic]. Первое и последнее выражения стремятся к эйлеровой постоянной C (C[pic]0,577). Значит [pic], а, следовательно, существует и обычный предел и [pic].

Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу, которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно, определим значения [pic], где k – натуральное число.

Возьмём известное разложение [pic], где [pic] - знаменитые числа
Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое [pic] в левую часть равенства. Слева получаем [pic]
[pic]cth[pic], а в правой части - [pic], то есть [pic]cth[pic]. Заменяем
[pic] на [pic], получаем [pic]cth[pic].

С другой стороны, существует равенство cth[pic], из которого
[pic]cth[pic]. Подстановкой [pic] вместо [pic] находим [pic]cth[pic] [pic].
Если [pic], то для любого [pic]N [pic] [pic] и по теореме о сложении бесконечного множества степенных рядов [pic]cth[pic] [pic].

Приравняем полученные разложения: [pic]
[pic], следовательно [pic]. Отсюда немедленно следует искомая формула

[pic]

(4), где [pic] - k-е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.

Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всей области определения.

[pic]

Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже принимают за определение:

[pic], где pi – i-е простое число

(4).

Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство [pic]
[pic] Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящим заданного натурального числа N, то получившееся частичное произведение окажется равным [pic], где символ * означает, что суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении содержат только простые числа меньшие N. Так как первые N натуральных чисел этим свойством обладают, то

[pic]

(5).
Сумма [pic] содержит не все числа, большие N+1, поэтому, очевидно, [pic].
Из (5) получаем

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги и налогообложение, тесты с ответами.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата