Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Пользуясь абсолютной сходимостью интеграла [pic], если [pic], и ограниченностью функции [pic], делаем вывод, что в левой части равенства
(4) интеграл тоже сходится при [pic]. Значит формулой (3) можно продолжить дзета-функцию и на полуплоскость правее прямой [pic].

Нетрудно установить, что для отрицательных [pic] [pic], поэтому из (3) имеем

[pic]

(5) при [pic].

Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений x справедливо разложение в ряд

[pic]

(6).

Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:
[pic]. Сделаем в полученном интеграле подстановку [pic], отсюда следует
[pic], а [pic], и получим далее [pic]. Известно, что [pic] [pic], значит
[pic] [pic]. Из известного соотношения для гамма-функции [pic], по формуле дополнения [pic], следовательно [pic] [pic]

Итак, мы получили функциональное уравнение дзета-функции Римана

[pic]

(7), которое само по себе может служить средством изучения этой функции, так как вполне характеризует её, в том смысле, что любая другая функция [pic], удовлетворяющая равенству (7), а также ещё некоторым естественным условиям, тождественна с [pic].

Пока, правда, как следует из рассуждений, мы доказали формулу (7) для
[pic]. Однако правая часть этого равенства является аналитической функцией s и при [pic]. Это показывает, что дзета-функция может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость, причём не имеет на ней никаких особенностей, кроме упоминавшегося полюса при [pic].

Чтобы доказательство было строгим, мы должны ещё обосновать почленное интегрирование. Поскольку ряд (6) сходится почти всюду и его частичные суммы остаются ограниченными, почленное интегрирование на любом конечном отрезке допустимо. Ввиду [pic] [pic] для любого [pic], остаётся доказать, что [pic] [pic] при [pic]. Но интегрируя внутренний интеграл по частям имеем [pic]
[pic]. Отсюда без труда получается наше утверждение.

Функциональное уравнение дзета-функции (7) может быть записано многими способами. Например, заменим s на 1-s, получаем равносильное равенство

[pic]

(8). Из него можно получить два небольших следствия.

Подставим в (8) вместо s число 2m, где m – натуральное число. Имеем
[pic]. По формуле (4) первой главы [pic] [pic], а [pic], поэтому [pic] и произведя в правой части все сокращения, учитывая, что [pic], получим
[pic].

Покажем ещё, что [pic]. Для этого прологарифмируем равенство (8):
[pic] [pic] и результат продифференцируем [pic] [pic]. В окрестности точки s=1 [pic], [pic] [pic], [pic], где С – постоянная Эйлера, а k – произвольная постоянная. Следовательно, устремляя s к единице, получим
[pic], то есть [pic]. Опять из формулы (4) главы 1 при k=0 [pic], значит, действительно, [pic].

Глава 3.

Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется в математическом анализе. Однако наиболее полно важность её выявляется в теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучении распределения простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ о серьезных и нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за рамки этой работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой функции, докажем с её помощью несколько интересных утверждений.

Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самое знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит в следующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел, обозначим их p1, p2, … , pn. Рассмотрим число p1p2…pn+1, оно не делится ни на одно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является простым числом, отличным от вышеуказанных, что противоречит предположению.
Значит, количество простых чисел не может быть конечным.

Другое доказательство этого факта, использующее дзета-функцию, было дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство (5) при s=1, получим [pic], отсюда [pic] и ввиду расходимости гармонического ряда, имеем при [pic]

[pic]

(1). Если бы количество простых чисел было конечным, то и это произведение имело конечное значение. Однако, полученный результат свидетельствует об обратном. Доказательство завершено.

Теперь перепишем (1) в виде [pic]. Опираясь на теорему о сходимости бесконечного произведения, из расходимости предыдущего делаем вывод, что ряд [pic] расходится. Это предложение даёт некоторую характеристику роста простых чисел. Подчеркнём, что оно гораздо сильнее утверждения о расходимости гармонического ряда, так как здесь речь идёт лишь о части его членов, тем более что в натуральном ряде имеются сколь угодно длинные промежутки без простых чисел, например: [pic], [pic], … , [pic].

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги и налогообложение, тесты с ответами.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата