Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

[pic]
(6).
Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток после N-го члена, стремится к нулю при N стремящимся к бесконечности, а
[pic] есть произведение (4). Значит из неравенства при [pic] [pic], что и требовалось доказать.

Формула (4) важна потому, что она связывает натуральный ряд, представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множеством простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив [pic], а именно показав, что [pic], где [pic] остаётся ограниченным при [pic].

Из (4) следует, что [pic], где [pic]N, а [pic] при [pic]. Возьмём логарифм от обеих частей равенства, тогда [pic] [pic]. Натуральные логарифмы под знаком суммы разлагаются в ряд: [pic] [pic]. Подставив полученные разложения в равенство и устремив N к бесконечности, имеем
[pic]. Остаётся доказать ограниченность последнего слагаемого. Ясно, что
[pic]. Последнее равенство справедливо, так как [pic] [pic]. Далее, очевидно, [pic], что и завершает доказательство.

На этом закончим изложение свойств дзета-функции Римана для действительного аргумента, так как наибольший теоретический и прикладной интерес представляет случай изложенный во второй главе.

Глава 2.

Все результаты первой главы, касающиеся дзета-функции Римана, были получены в предположении, что её аргумент s – действительное число. Однако, самые выдающиеся исследования и многочисленные важные приложения стали возможны лишь после включения в область определения функции комплексных чисел. Впервые рассмотрел дзета-функцию как функцию мнимого аргумента немецкий математик Бернгард Риман, глубоко изучивший её свойства и широко применявший её в теории чисел. В честь него функция получила своё название.

Для комплексной дзета-функции остаётся в силе определение, данное в главе 1, с тем лишь изменением, что теперь там будет [pic]C. Возникает необходимость найти новую область определения. С этой целью докажем следующее утверждение: в полуплоскости [pic] ([pic] действительная часть числа x) ряд

[pic]

(1) сходится абсолютно.

Пусть [pic]. Подсчитаем абсолютные величины членов ряда (1), [pic].
Первый множитель содержит только вещественные числа и [pic], так как [pic].
Ко второму же множителю применим знаменитую формулу Эйлера, получим
[pic][pic]. Значит, [pic]. Ввиду сходимости ряда [pic] при ?>1, имеем абсолютную сходимость ряда (1).

На своей области определения дзета-функция аналитична. Действительно, при всяком q>0 и фиксированном ?>1+q, числовой ряд [pic] мажорирует ряд из абсолютных величин [pic], где [pic], откуда, по теореме Вейерштрасса, следует равномерная сходимость ряда в полуплоскости [pic]. Сумма же равномерно сходящегося ряда из аналитических функций сама является аналитической функцией.

Нетрудно показать, что все полученные для дзета-функции формулы без изменений переносятся на случай комплексного аргумента. Доказательства претерпевают незначительные преобразования, связанные с переходом к абсолютным величинам.

В связи с этим замечанием становится возможным использовать разложение дзета-функции в произведение [pic], где s теперь любое комплексное число, такое, что [pic]. Применим его к доказательству отсутствия у функции [pic] корней.

Оценим величину [pic], используя свойство модуля [pic]: [pic], где как обычно [pic]. Так как [pic], то [pic], а [pic], следовательно, дзета- функция в нуль не обращается.

Вопрос о нулях дзета-функции, а также другие прикладные вопросы получают новые широкие возможности для исследования, если распространить её на всю комплексную плоскость. Поэтому, сейчас мы одним из многих возможных способов найдём аналитическое продолжение дзета-функции и выведем её функциональное уравнение, характеризующее и однозначно определяющее [pic].

Для этого нам понадобится формула

[pic] (2), которая выводится следующим образом. Используя свойства интегралов можно записать [pic]. Для любого d при [pic] [pic], значит
[pic] и [pic], а [pic]. [pic]. Следовательно, [pic] [pic] [pic][pic][pic].
Интеграл [pic] можно найти интегрированием по частям, принимая [pic],
[pic]; тогда [pic], а [pic]. В результате [pic] [pic]. Вычтем из этого интеграла предыдущий и получим [pic], отсюда легко следует равенство (2).

Теперь положим в (2) [pic], [pic], a и b – целые положительные числа.
Тогда [pic] [pic]. Пусть сначала [pic], примем a=1, а b устремим к бесконечности. Получим [pic]. Прибавим по единице в обе части равенств:

[pic]

(3).

Выражение [pic] является ограниченным, так как [pic], а функция [pic] абсолютно интегрируема на промежутке [pic] при [pic], то есть при [pic],
[pic]. Значит, интеграл [pic] абсолютно сходится при [pic], причём равномерно в любой конечной области, лежащей в комплексной плоскости справа от прямой [pic]. Тем самым он определяет аналитическую функцию переменной s, регулярную при [pic]. Поэтому правая часть равенства (3) представляет собой аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость [pic] и имеет там лишь один простой полюс в точке [pic] с вычетом, равным единице.

Для [pic] можно преобразовать выражение (3) дзета-функции. При [pic] имеем [pic], значит, [pic] и[pic]. Теперь при [pic] (3) может быть записано в виде [pic].

Немного более сложными рассуждениями можно установить, что в действительности (3) даёт аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость [pic]. Положим [pic], а [pic], то есть [pic] первообразная для [pic]. [pic] ограничена, так как [pic], а интеграл [pic] [pic] и [pic]
[pic] ограничен из-за того, что [pic]. Рассмотрим интеграл [pic] при x1>x2 и [pic]. Проинтегрируем его по частям, приняв [pic], [pic], тогда [pic], а по указанному выше утверждению [pic]. Получаем [pic] [pic]. Возьмём [pic], а [pic]. Имеем [pic], [pic], потому что [pic] является ограниченной функцией. Значит,

[pic]

(4).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги и налогообложение, тесты с ответами.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата