Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Несмотря на свою простоту приведённые выше предложения важны в концептуальном плане, так как они начинают череду исследований всё более и более глубоких свойств ряда простых чисел, которая продолжается по сей день. Первоначально, основной целью изучения дзета-функции как раз и было исследование функции [pic], то есть количества простых чисел не превосходящих x. В качестве примера формулы, связывающей [pic] и [pic], мы сейчас получим равенство

[pic]

(2).

Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение: [pic].
Из логарифмического ряда [pic], учитывая, что [pic], приходим к ряду [pic]
[pic]. Значит, [pic].

Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при [pic] [pic], то [pic]. Во внутреннем интеграле положим [pic], тогда [pic] и [pic], отсюда [pic].В промежутке интегрирования [pic], поэтому верно разложение
[pic] и [pic] [pic]. Получаем [pic] [pic]. Теперь [pic] [pic] [pic]. Если сравнить полученное значение интеграла с рядом для [pic], то увидим, что они тождественны и равенство (2) доказано.

Используем формулу (2) для доказательства одной очень серьёзной и важной теоремы, а именно получим асимптотический закон распределения простых чисел, то есть покажем, что [pic].

В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий математик
Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность ещё в пятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математических таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов.

Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемся разрешить это уравнение относительно [pic], то есть обратить интеграл. Сделаем это с помощью формулы обращения Меллина следующим образом. Пусть [pic] [pic].
Тогда

[pic]

(3). Этот интеграл имеет нужную форму, а [pic] не повлияет на асимптотику [pic]. Действительно, так как [pic], интеграл для [pic] сходится равномерно в полуплоскости [pic], что легко обнаруживается сравнением с интегралом [pic]. Следовательно, [pic] регулярна и ограничена в полуплоскости [pic]. То же самое справедливо и относительно [pic], так как [pic] [pic].

Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы весьма затруднительно выполнить интегрирование. Поэтому прежде преобразуем равенство (3) следующим образом. Дифференцируя по s, получаем [pic].
Обозначим левую часть через [pic] и положим [pic], [pic], ([pic], [pic] и
[pic] полагаем равными нулю при [pic]). Тогда, интегрируя по частям, находим [pic] при [pic], или [pic].

Но [pic] непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале, а так как [pic], то [pic] ([pic]) и [pic] ([pic]).
Следовательно, [pic] абсолютно интегрируема на [pic] при [pic]. Поэтому
[pic] при [pic], или [pic] при [pic]. Интеграл в правой части абсолютно сходится, так как [pic] ограниченна при [pic], вне некоторой окрестности точки [pic]. В окрестности [pic] [pic] и можно положить [pic], где [pic] ограниченна при [pic], [pic] и имеет логарифмический порядок при [pic].
Далее, [pic] [pic]. Первый член равен сумме вычетов в особых точках, расположенных слева от прямой [pic], то есть [pic]. Во втором члене можно положить [pic], так как [pic] имеет при [pic] лишь логарифмическую особенность. Следовательно, [pic]. Последний интеграл стремится к нулю при
[pic]. Значит,

[pic]

(4).
Чтобы перейти обратно к [pic], используем следующую лемму.

Пусть [pic] положительна и не убывает и пусть при [pic] [pic]. Тогда
[pic].

Действительно, если [pic] - данное положительное число, то [pic] [pic]
([pic]). Отсюда получаем для любого [pic] [pic] [pic]. Но так как [pic] не убывает, то [pic]. Следовательно, [pic]. Полагая, например, [pic], получаем
[pic].

Аналогично, рассматривая [pic], получаем [pic], значит [pic], что и требовалось доказать.

Применяя лемму, из (4) имеем, что [pic], [pic], поэтому [pic] и теорема доказана.

Для ознакомления с более глубокими результатами теории дзета-функции
Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемому списку использованной литературы.

Список использованной литературы.

1. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000 г.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II. М.,1970 г.

3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.

М.,1999 г.

4. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.,1987 г.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги и налогообложение, тесты с ответами.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата