|
Образовательный портал Claw.ru Всё для учебы, работы и отдыха » Шпаргалки, рефераты, курсовые » Сочинения и изложения » Конспекты и лекции » Энциклопедии
|
Увы, эта сумма тоже равна бесконечности. Мы хотели бы найти приращение знергии
Разумеется, с обыденной точки зрения вычитать из бесконечности бесконечность - совершенно
абсурдная задача. Однако в чем физики поднаторели, так это в умении производить
арифметические операции с бесконечностями. Для физика-теоретика, даже
начинающего, вычесть из бесконечности бесконечность и при этом получить
конечное число (причем наблюдаемое, экспериментально проверяемое) - раз
плюнуть. Ответ в нашей задаче имеет вид
Метод
получения этого результата, хотя и похож на фокус, удивительно прост. Для того
чтобы придать смысл формальному манипулированию с бесконечностями, надо сделать
сначала суммы конечными. Предположим, что очень коротких волн не бывает, т.е. в
сумме по мы ограничимся только > 0. Соответственно
в сумме по n придется ограничиться n < a/0. Теперь подсчитаем
разность. Она станет функцией обрезки 0. Если брать все меньшие и
меньшие значения 0 и построить график этой функции, то окажется, что
она стремится к конечному пределу при 0 0. Такая процедура, носящая название перенормировки или регуляризации, и приводит к упомянутому
выше результату.
Полученный
результат - это результат "одномерной" электродинамики. Наши волны
могли распространяться только в одном направлении - перпендикулярно пластинкам.
На самом деле, хотя пластинки и плоские, задача трехмерная. Электромагнитные
волны (даже в виде нулевых колебаний) могут распространяться в трех
направлениях. Сути дела это не меняет, нужна только небольшая модификация наших
расчетов.
Окончательный
ответ для трехмерной задачи выглядит так:
|
E(a) =
|
2(h) c
720a3
|
S,
|
|
где
S - площадь пластинки.
Что
же теперь делать с этим выражением? Ну, во-первых, очевидно, что при сближении
пластинок (уменьшении a), E уменьшается (знак минус!). Следовательно, чем ближе пластинки, тем энергетически выгоднее. Вспоминайте девятый класс: потенциальная
энергия U камня в поле силы тяжести на высоте x равна mgx. Опустите камень и
его энергия уменьшится. Но вы-то знаете, что Земля камень притягивает!
Следовательно, уменьшение потенциальной энергии при сближении тел
свидетельствует об их взаимном притяжении. А как эту силу извлечь из энергии?
Да очень просто. Для нашей "каменной" задачи составим разность
|
U = U(x+x)U(x) = mgx.
|
|
Сила
mg как раз и равна U/x. В общем случае энергия в зависимости от
расстояния может меняться по закону, гораздо более сложному, чем линейный.
Тогда сила находится при помощи производной:
Главная