КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.
КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

§1. Пространство R(p1,p2).

А1- аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу r = {a,(e}, где а и(e соответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= ((e , d(e= W(e

(1), причем формы Пфаффа ( и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :

D ( = ((W , DW=W(W=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* =(e + d(e + 1/2d2(e + 1/6d3(e
+... по отношению к вектору (е. Тогда (e* =e*(e. Из (1) получаем :e*
=1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора (e* , близкого к (e , по отношению к (e.

Пусть R(p1,p2) – пространство всех пар (p1,p2) точек p1,p2 прямой А1.
Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р1р2, а конец вектора (е – в точку р1; при этом р2 совместится с концом вектора -(е.

Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно вид: W+(=0, -W+(=0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р1,р2) являются формы Пфаффа : W+( , -W+(.

Очевидно, что dim R(p1,p2)=2. Заметим ,что в репере r форма 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р1*р2*, близкого к р1р2,по отношению к р1р2.

§ 2. Отображение f.

А2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p,(ej}.
Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют соответственно вид :dp=Wjej ; d(ej= Wj k;

DWj=Wk^Wkj ; DWj=Wjy^Wyk .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А2 в пространстве R(p1,p2):f:A2(R(p1,p2).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f=2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f-1(p1,p2). Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q+W=(jWj ; Q-W=(jWj (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f-1: R(p1,p2)(A2 обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1 имеют вид :

Wj=(j(Q+W)+(j(Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

(k(j+(k(j=(jk

(j(j=1

(j(j=1 (*)