Геометрические свойства равнобедренных треугольников

В. В. Богун

Предлагаемая статья, как следует из названия, посвящена изучению свойств равнобедренных треугольников, а также установлению взаимосвязей между данными треугольниками. Необходимость исследований назрела, в первую очередь, из-за частого применения в архитектуре равнобедренных треугольников как геометрических моделей отдельных фрагментов зданий и сооружений, а во-вторых, пополнения базы знаний в области элементарной геометрии.

Где же могут найти применение данные теоретические исследования? Прежде всего в педагогике как таковой, поскольку они существенно расширят кругозор школьников и студентов, изучающих элементарную геометрию, а также тригонометрию, поскольку работа находится на стыке двух разделов математики - элементарной геометрии и тригонометрии, причем их важность абсолютно равнозначна.

Существенными плюсами данных исследований являются следующие факты:

Возможность выхода на теорию стереометрической взаимосвязи между геометрическими фигурами, в частности, правильных четырехугольных пирамид;

Объяснение с помощью свойств равнобедренных треугольников и построенных на их основе правильных четырехугольных пирамид геометрических взаимосвязей между пирамидами Гизы в Египте (Хеопса, Хефрена и Микерина);

Последний факт должен вызвать особый интерес читательской аудитории к исследованиям, поскольку в отличие от всей геометрии в целом, представленной в популярных учебниках в большинстве случаев лишь в виде "голой" теории, мы имеем сочетание теоретических и практических аспектов.

Для простоты изложения материала внесем ряд определений:

Основная высота - высота равнобедренного треугольника, опущенная из вершины, являющейся точкой пересечения равных боковых сторон, на основание и соответственно пересекающей последнее в его середине.

Полуподобные равнобедренные треугольники - равнобедренные треугольники, для которых справедливо равенство углов при основании одного половинным углам между боковыми сторонами другого.

Половинноподобные равнобедренные треугольники - равнобедренные треугольники, равные углы при основании одного являются половинными углами при основании другого.

Теорема 1: Об отношении основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности

Отношение основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно алгебраической сумме единицы и величины, обратной по значению косинусу равных углов при основании.

Исходные данные:

Равнобедренный ∆ АВС (рис. 1); ВD = h  основная высота, опущенная из вершины В на основание АС = 2  а; АВ = ВС = b  боковые стороны треугольника; DО = КО = LО = r - радиус вписанной в ∆ АВС окружности,  ВАС =  ВСА =  .

Доказать:

(1)

Доказательство:

Формулы для вычисления площади ∆АВС:

S ∆АВС.

S ∆АВС.

Рис. 1. Равнобедренный ∆ АВС с вписанной в него окружностью.

Получим: