Геометрические свойства регулярного круглого конуса в пространстве

Асп. Коробова К. В.

Кафедра математического анализа.

Северо-Осетинский государственный университет

Приведены явные формулы для вычисления множеств положительных и отрицательных частей произвольного элемента в пространстве , упорядоченном круглым регулярным конусом. Определено множество элементов, на котором реализуется минимум в формуле расстояния от элемента до конуса, и исследуется вопрос о совпадении этого множества с множеством положительных частей элемента.

Введение

Теория конусов является актуальным разделом функционального анализа и находит большое применение во многих областях математики. Геометрическим свойствам пространств, упорядоченных конусами различного вида, посвящены работы Л. В. Канторовича, Б. 3. Вулиха [1,2], М. А. Красносельского [3], В. Т. Худалова [4,5]. В работе автора [6] дано общее описание регулярного круглого конуса в пространстве  и описаны некоторые его свойства. Данная статья посвящена дальнейшему исследованию порядковых свойств пространства .

1. Предварительные сведения

Приведем необходимые для дальнейшего использования определения и результаты.

1.1. Пусть Е – банахово пространство над полем действительных чисел R, Е+ – конус в Е. Конус Е+ называется регулярным, если выполнены следующие условия:

±х ≤ у Þ ||х|| ≤ ||y|| для любых х, у Î Е,

для любого х Î Е и любого e > 0 существует у Î Е+ такой, что ±х ≤ у и ||у|| ≤ (1+e) ||х||.

Регулярный конус Е+ называется строго регулярным, если выполнено условие (2) при e = 0, т. е.

(2') для любого х Î Е существует у Î Е+ такой, что ±х ≤ у и ||y|| = ||х||.

Упорядоченное замкнутым строго регулярным конусом Е+ пространство Е обозначают (Е, Е+) Î (Â), см. [1,2].

1.2. Одним из наиболее общих методов построения конуса в произвольном банаховом пространстве, обладающего свойствами нормальности, несплющенности, а также другими свойствами, является следующий: пусть X – банахово пространство, f Î X* – произвольный непрерывный линейный функционал на X такой, что ||f|| = 1. Для любого aÎ (0,1] определим K(f,α):=xÎX: f(x) ≥ a.

Если Н – гильбертово пространство над R, то для любого aÎН, ||a|| = 1, конус К(а, a) имеет вид:

K(a, α) = X : (a, x) ≥ a.

Если dim H > 1, то для любого а Î Н, ||a|| = 1, конус К (а, a) строго регулярен в Н тогда и только тогда, когда a = [5].

1.3. Отметим, что класс регулярных конусов в пространствах  и l1 совпадает с классом строго регулярных конусов [5]. Данная работа опирается на следующее описание всех регулярных круглых конусов, полученных в [4].

Теорема. Конус K(f, a) является регулярным , n > l1 только при двух значениях a Î (0,1]:

при a = 1 каждая координата вектора f = (f1, f2,..., fn) равна +1 или – 1; при этом имеется 2n конусов, порождающих упорядоченные банаховы пространства, порядково изоморфные и линейно изометричные пространству  с естественным конусом положительных элементов;

при a = 0,5 одна из координат (j-я координата) вектора f = (f1, f2,..., fn) равна ±1, а все остальные – нули; при этом имеется 2n конусов, порождающих упорядоченные банаховы пространства, порядково изоморфные и линейно изометричные пространству  с конусом

Kj = {х = (x1,x2,...,xn) : xj ≥ }. (1)

1.4. Пусть (Е, Е+) Î (Â). Для любого х Î Е обозначим через |Х| множество элементов у Î Е таких, что ± x ≤ у и ||x|| = ||y||. Любой элемент этого множества называется метрическим модулем элемента x.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты помощь, банк курсовых работ бесплатно.





1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата