Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Положим

X+ = ½ x + ½|X|, X− = −½ x + ½|X| .

Множества Х+ и Х− называются множествами положительных (соответственно отрицательных) частей элемента x. Если у Î |Х|, т.е. ±x ≤ у и ||у|| = ||x||, то положим x+ = (у + x)/2, x− = (у – x)/2, |x| = x+ + x−. Из определения следует, что |x| ≥ ± x, причем

x = x+ − x−, |x| = x+ + x−, ||x+ - x−|| = ||x+ + x−||, ||x|| = |||x|||.

1.5. Конус Е+ в упорядоченном банаховом пространстве (Е, Е+) Î (Â) называется достижимым, если для любого x Î Е существует элемент Рх Î Е+, на котором реализуется минимум в формуле расстояния от х до Е+, т. е.

d(x, E+) = inf = ||Рx – x||.

Множество всех таких Рх обозначается М(х).

1.6. При вычислении расстояния от точки до конуса воспользуемся следующим результатом из [5].

Пусть (Е, Е+) Î (Â) и х Î Е+. Элемент x+ Î Е+ является ближайшим к х элементом конуса Е+ тогда и только тогда, когда существует f Î Е*+, ||f|| = 1, такой, что f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||. В этом случае d(x, Е+) = ||x-||.

1.7. Пусть E – банахово пространство над R со строго регулярным замкнутым конусом Е+. Элементы x, у Î Е+ называются н-дизъюнктными или ортогональными по Роберу (обозначается x у), если ||x + λу|| = ||x – λу|| для любого λ ≥ 0.

2. Описание множеств |Х|, Х+, Х-

Рассмотрим пространство , упорядоченное регулярным круглым конусом K(f,a), где a = 0,5 и функционал f имеет первую координату, равную единице, а остальные координаты нулевые:

K1 = x = (x1, x2, ..., xn) : x1 ≥ .

Все результаты легко перенести на общий случай (1) с помощью изометричного преобразования. В дальнейшем, если не указано иное, будем обозначать через X = .

Опишем множества |Х|, Х+, Х- для произвольного элемента x = (x1, ..., xn) Î . Заметим, что частный случай разложения элемента х на ортогональные по Роберу положительную и отрицательную части рассмотрен в [6].

2.1. Пусть x1 = 0. Найдем элемент конуса, который мажорирует элементы ± х и равен им по норме, т. е. у = (у1, …, yn) : y1 ≥ , y ≥ ± х, ||y|| = ||x||. Такой элемент описывает следующая система:

Сложив первые два неравенства, получим оценку у1 ≥ X. С другой стороны, из третьего равенства видно, что у1 ≤ X. Тогда у1 = X, = 0, следовательно yk = 0 для любого . Получаем следующее представление метрического модуля элемента х и его положительной и отрицательной части

,

,

.

2.2. Пусть x1 > 0. В этом случае система, описывающая элемент у Î |Х|, имеет вид:

Аналогичные действия позволяют утверждать, что X≤у1≤X + х1, т.е. у1 представим в виде у1 = X + λх1, где 0 ≤ λ ≤ 1. Последовательно подставляя значение у1 в систему, имеем: -|yk – xk|) ≥ ≥ х1(l – λ) = , с другой стороны, |уk| = |xk + (yk – xk)| ≥ ≥ |xk| – |yk – xk|. В итоге получаем:

|xk| = |yk| + |yk − xk| ().

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты помощь, банк курсовых работ бесплатно.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата