Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

 где 0≤ak≤1, }.

4.4. Пусть x1 > 0 и элемент x не принадлежит конусу K1. Если а = (a1, ..., аn) Î М(x), то ||a – x|| = ||x–|| = d(x, К1) =  – x1

или

Так как a Î K1 , то а1 ≥ . Тогда последовательно получаем a1 ≤ |а1 – x1| + x1 =  -  ≤  ≤ a1 , что равносильно системе

или

 

Получаем, что (аk – xk) и xk – одного знака, т. е. аk = akxk, где 0 ≤ ak ≤ 1 для любого . Подставив в (*), имеем а1 +  = .

Таким образом, выражение для а1 имеет вид: а1 =.

В итоге получаем, что если х1 > 0, то

 где 0≤ak≤ 1, }.

4.5. Пусть x1 < 0 и элемент х не принадлежит конусу –К1, т.е. –x1 < .

Если а = (a1, ..., аn) Î М(x), то ||a-x|| = ||x–|| = d(x, К1) =–x1

или

или

Откуда a1=  -  ≥. В то же время  ≥  +  ≥ . Из последнего неравенства получаем, что (ak – xk) и (xk) – одного знака для любого k, т. е. аk = ak xk, где 0 ≤ ak ≤ 1 для любого . Тогда a1=– =. Получаем, что (4.4) верно и для этого случая.

5. Описание множества M(x)∩K1

Интересен вопрос о взаимоотношении множества положительных частей элемента и множества элементов, на которых достигается расстояние от элемента до конуса.

Пусть элемент x принадлежит конусу К1. В этом случае М(х) = {x}, а Х+ = {(Х + x1(1 + λ), x2(1 + λ2), ..., xn(1 + λn)), 0 ≤ λ, λk ≤ 1,  = x1(1 – λ)}. При λk = 1 получим λ = 0 и Х+ = {x}, т.е. М(х) ∩ Х+ = {x} и М(х) Ì Х+.

Пусть элемент x принадлежит конусу –К1. Если аÎ М(x)∩Х+, то, учитывая формулы 4.2 и 2.2, получим:

(+ x1(1 – λ), x2(1 – λ2), ... , xn(1 – λn)).

Из этого равенства следует, что ) при λk Î[0,1]. Итак, для любого λk,  найдется  такое, что из того, что а Î Х+ следует, что а Î М(х). Обратное не всегда верно. В итоге получаем включение М(x) ∩ Х+ = X+ .

5.3. Пусть x1 = 0 и элемент x не принадлежит конусу. Воспользовавшись формулами 4.3 и 2.1, получим М(х) ∩ Х+ = Х+.

5.4. Пусть x1 > 0 и элемент x не принадлежит конусу. Если элемент принадлежит М(х) ∩ Х+ , то выполняется равенство:

(+ x1(1 + λ), x2(1 + λ2), ..., xn(1 + λn)),

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: рефераты помощь, банк курсовых работ бесплатно.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата