Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами
| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: реферат традиции, диплом управление предприятием
| Добавил(а) на сайт: Поджио.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 | Следующая страница реферата
В 1947 г. появилась работа С.Н.Бернштейна [1]. Одна из теорем этой работы содержит в качестве следствия такое предложение: пусть
[pic]
Тогда
[pic]
В §3 доказываем:
[pic] (*)
В §4 формулируется доказанное в работе С.Б.Стечкина [2] обобщение
известного неравенства С.Н.Бернштейна [3], [4] для производных от
тригонометрического полинома. Мы приводим затем ряд следствий из нашего
неравенства (*). Они играют существенную роль при доказательстве теорем
§5.
В §5 рассматривается следующая задача. Пусть тригонометрический полином tn , близок в равномерной метрике к заданной функции f или последовательность полиномов {tn} достаточно хорошо аппроксимирует заданную функцию f. Как связаны тогда дифференциальные свойства f с дифференциальными свойствами tn?
Если tn , образуется из f посредством регулярного метода суммирования рядов Фурье, то ответ тривиален: для того чтобы [pic], необходимо и достаточно, чтобы [pic] равномерно относительно n. (fОHk[w], если [pic]).
Оказывается, что этот результат сохраняется и для полиномов наилучшего приближения: для того, чтобы [pic] равномерно относительно n.
Отметим еще один результат параграфа: для того чтобы [pic], необходимо и достаточно чтобы
[pic].
§6 посвящён “обратным теоремам” теории приближения.
Известно предложение: пусть
[pic][pic].
Тогда, если a не целое, r=[a], b=a-r, то f имеет нерперывную производную
[pic].
Случай целого a рассмотрен Зигмундом. В этом случае
[pic].
Нетрудно показать, что эти два предложения эквивалентны следующему: пусть 00 таких, что [pic] k-й симметричной разностью - величина
[pic] (1.4’)
Лемма 1. При любых натуральных j и k справедливо равенство
[pic] (1.5)
Доказательство. Действительно, так как при любом натуральном k
[pic] то
[pic]
Лемма доказана.
Лемма 2. При любых натуральных k и n верна формула:
[pic] (1.6)
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: форма реферата, форма курсовой работы.
Категории:
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 | Следующая страница реферата
Главная