Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Доказательство. Воспользуемся индукцией по k. При k=1 тождество (1.6) проверяется непосредственно:

[pic].
Предполагая его справедливость при k-1 (kі2), получим

[pic]
Лемма доказана.

Определение 5. Если измеримая периода (b-a) функция f(x)ОLq (Lq-класс всех вещественных измеримых на [a,b] функции f(x)), то под её интегральным модулем гладкости порядка kі1 понимают функцию

[pic]

Лемма 3. Если [pic] то справедливо

[pic] (1.7)

Доказательство. В самом деле,

[pic] и так далее. Лемма доказана.

Определение 6. Если функция f(x) ограничена на [a,b], то под её модулем гладкости порядка kі1 понимают функцию

[pic] заданную для неотрицательных значений [pic] и в случае, когда k=1, представляющую собой модуль непрерывности.

Свойства модулей гладкости:
[pic]
[pic] есть функция, монотонно возрастающая;
[pic] есть функция непрерывная;
При любом натуральном n имеет место ( точное) неравенство

[pic] (1.8) а при любом [pic]-неравенство

[pic] (1.8’)

5) Если функция f(x) имеет всюду на [a,b] непрерывные производные до
(r-1)-го порядка, и при этом (r-1)-я производная [pic], то

[pic] (1.9)

Доказательство. 1) Свойство 1) немедленно вытекает из того, что

[pic]

2) Свойство 2) доказывается точно так же, как и для случая обычного модуля непрерывности.

3) Предполагая для определённости, что d>d’, получим
[pic][pic]
Этим непрерывность функции wk(d) доказана.

4) Используя равенство лемму 2 §1, имеем
[pic]Этим неравенство (1.8) доказано. Неравенство (1.8’) следует из монотонности функции wk(t) и неравенства (1.8).

5) Используя равенства лемму 1 и лемму 3 §1, получим

[pic]

Определение 7. Пусть k-натуральное число. Будем говорить, что функция
[pic] есть модуль непрерывности k-го порядка функции f, если

[pic] где [pic]-конечная разность функции f k-го порядка с шагом h:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: форма реферата, форма курсовой работы.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата