Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

т. е. условная вероятность события A в предположении что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события В.

Итак, если событие В не зависит от события A, то событие A не зависит от события В; это означает, что с в о й с т в о н е з а в и с и м о с т и с о б ы т и й в з а и м н о.

Для независимых событий теорема умножения Р (АВ) = Р (А) РA (В) имеет вид

Р (АВ) = Р (А) Р (В), (**)

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Равенство (**) принимают в качестве определения независимых событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи.
Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

З а м е ч а н и е 1. Если события А и В независимы, то независимы также события

[pic]

Действительно,

[pic]

Следовательно,

[pic]

Отсюда

[pic] т. е. события А и В независимы.

Независимость событий

[pic] является следствием доказанного утверждения.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события A1,
A2, А3, независимы в совокупности, то независимы события A1 и А2, А1 и А3,
А2 и A3; А1 и A2A3, A2 и A1A3, А3 и A1A2. Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности.

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Поясним сказанное на примере. Пусть в урне имеется 4 шара, окрашенные: один — в красный цвет (А), один — в синий цвет (В), один — в черный цвет
(С) и один — во все эти три цвета (АВС). Чему равна вероятность того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет?

Так как из четырех шаров два имеют красный цвет, то Р(А) = 2 / 4 = 1 /
2. Рассуждая аналогично, найдем Р (В) = 1 / 2, Р (С) = 1/ 2. Допустим теперь, что взятый шар имеет синий цвет, т. е. событие В уже произошло.
Изменится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет красный цвет, т. е. изменится ли вероятность события А? Из двух шаров, имеющих синий цвет, один шар имеет и красный цвет, поэтому вероятность события А по-прежнему равна 1 / 2. Другими словами, условная вероятность события А, вычисленная в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности.
Следовательно, события А и В независимы. Аналогично придем к выводу, что события A и С, В и С независимы. Итак, события А, В и С попарно независимы.

Независимы ли эти события в совокупности? Оказывается, нет.
Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероятность того, что этот шар имеет и красный цвет?
Лишь один шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый шар имеет и красный цвет. Таким образом, допустив, что события В и С произошли, приходим к выводу, что событие А обязательно наступит. Следовательно, это событие достоверное и вероятность его равна единице. Другими словами, условная вероятность РBC (A)= 1 события А не равна его безусловной вероятности Р (А)
= 1 / 2. Итак, попарно независимые события А, В, С не являются независимыми в совокупности.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курсовые, заключение курсовой работы.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата