Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Приведем теперь следствие из теоремы умножения.

С л е д с т в и е. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р (А1А2 ... Аn) = Р (А1) Р (А2) ... Р (Аn).

Доказательство:

Рассмотрим три события: А, В и С. Совмещение событий А, В и С равносильно совмещению событий АВ и С, поэтому

Р (AВС) = Р (АВ * С).

Так как события А, В и С независимы в совокупности, то независимы, в частности, события АВ и С, а также А и В. По теореме умножения для двух независимых событий имеем:

Р (АВ * С) = Р (АВ) Р (С) и Р (АВ) = Р (А) Р (В).

Итак, окончательно получим

Р (AВС) = Р (А) Р (В) Р (С).

Для произвольного n доказательство проводится методом математической индукции.

З а м е ч а н и е. Если события А1, А2, ..., Аn независимы в совокупности, то и противоположные им события

[pic] также независимы в совокупности.

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий?
Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1 , А2 ,
..., Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

[pic]

Р (A) = 1 — q1q2 ... qn.(*)

Доказательство:

Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А1,А2, ...,An. События А и

[pic]
(ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

[pic]

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим

[pic] или

[pic]

Ч а с т н ы й с л у ч а й. Если события А1 , А2 , ..., Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: курсовые, заключение курсовой работы.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата