Линейные диофантовы уравнения

Курсовая работа

Выполнил студент IV курса физико-математического факультета Белов Денис Владимирович

Вятский государственный гуманитарный университет

Киров, 2006 г.

Введение.

Определим цели, стоящие перед данной работой. Для этого дадим два определения.

Определение 1. Диофантовым уравнением 1-ой степени (линейным) с  неизвестными называется уравнение вида

 ,

где все коэффициенты и неизвестные – целые числа и хотя бы одно .

Для сокращения записи условимся далее сокращать фразу линейное диофантово уравнение, как ЛДУ.

Определение 2. Решением ЛДУ называется упорядоченная n-ка целых чисел , такая, что .

Нашей целью будет научиться находить решения неопределенного уравнения первой степени, если это решение имеется.

Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы:

1). Всегда ли ЛДУ имеет решений, найти условия существования решения.

2). Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение ЛДУ.

Работа состоит из двух глав, в первой приведены теоретические материалы, во второй решения некоторых задач.

В части 1.1 приведены выдержки из истории неопределенных уравнений. В части 1.2. в виде теоремы приводится необходимое и достаточное условие существования решения ЛДУ, также говорится о числе решений. Далее рассматриваются методы нахождения решений, в пункте 1.3 для некоторых частных случаев, в пункте 1.4 для любого ЛДУ, имеющего решение.

1. Диофант и история диофантовых уравнений.

Диофант (Dióphantos) представляет одну из занимательных загадок в истории математики. Мы не знаем, кем был Диофант, точные года его жизни, нам не известны его предшественники, которые работали бы в той же области, что и он. [10]

На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки Поля Таннри, и это, вероятно, середина III в.н.э. [10]

Наиболее интересным представляется творчество Диофанта. «Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы». [Стройк] До нас дошло 7 книг из, возможно, 13 [1], которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, многие из которых остались нам неизвестны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.

«Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением. В собрание входят весьма разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофант практиковался в нахождении решений неопределенных уравнений вида ,  или систем таких уравнений. Типично для Диофанта, что его интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения.

Поэтому, обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах.

Неопределенные уравнения 1-й степени начали рассматриваться индусскими математиками позднее, примерно с V века. Некоторые такие уравнения с двумя и тремя неизвестными появились в связи с проблемами, возникшими в астрономии, например, при рассмотрении вопросов, связанных с определением периодического повторения небесных явлений.[2]

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение тарас, курсовая работа по праву.





1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата