Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Общее решение ЛДУ ,  задается уравнениями , где .

Доказательство. То, что правые части указанных в формулировке теоремы равенств действительно являются решениями, проверяется их непосредственной подстановкой в исходное уравнение. Покажем, что любое решение уравнения  имеет именно такой вид, какой указан в формулировке предложения. Пусть - какое-нибудь решение уравнения . Тогда , но ведь и . Вычтем из первого равенства второе и получим:

 - однородное уравнение. Пишем сразу общее решение:  , откуда получаем:

. Доказательство завершено.

Встает вопрос о нахождении частного решения ЛДУ.

По теореме о линейном разложении НОД, это означает, что найдутся такие  и  из множества целых чисел, что , причем эти  и  мы легко умеем находить с помощью алгоритма Евклида. Умножим теперь равенство  на  и получим: , т.е., .

Таким образом, для нахождения общего решения находим общее решение ЛОДУ, частное решение ЛДУ и их складываем.

Замечание: особенно этот способ удобен, когда  или . Если, например, , , тогда n-ка , очевидно, будет частным решением ЛДУ. Можно сразу выписывать общее решение.

Пример. , .

Найдем частное решение. Используем алгоритм Евклида.

;

Получаем линейное разложение НОД:

, т.е .

,

Получили общее решение: , где .

Как видим, получили решение, не совпадающее с решением, найденным первым способом.

Обозначим  и получим , т.е эти решения равносильны.

Способ 3.

Еще один способ опирается на теорему:

Пусть  - произвольное решение диофантова уравнения

, , тогда

множество решений уравнения в целых числах совпадает с множеством пар , где , , где t – любое целое число.

Доказательство этого несложного факта можно найти, например, в книге Бухштаба [2, стр. 114].

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение тарас, курсовая работа по праву.





Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата