Введение и краткое резюме

Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания". Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы
"захватывает" автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр ( таким образом, чтобы при ( = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр (, который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову".

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по
Пуанкаре.

В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и
4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.

§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.
Уравнение, которое нас будет интересовать:

[pic]

При ( = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение
[pic]

Рассмотрим случай, когда ( бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:
[pic]
Начальные условия выберем так:
[pic]
F2 - степенной ряд по (1 (2, ( начинающийся с членов второго порядка.
Подставим (3) в (1):

Сравнивая коэффициенты при (1 (2, ( получим уравнение для А, В, С.
Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).

[pic]

Решая задачи Коши, получим:

[pic]

Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы [pic]

Введем обозначения [pic]; для остальных функций аналогично.
Тогда (6) запишется в виде:

[pic]

Если в этой системе можно (1 (2 представить в виде функции ( так, чтобы
(1 (2, ( исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения
(1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых ( служит неравенство 0 Якобиана.

В нашем случае: [pic]
Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых ( и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.
[pic]

§ 2 Исследование устойчивости периодического решения

Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) + ( ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени ( и ('.

Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:

Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами.
Его решение мы будем искать в виде [pic] [pic] функции времени[pic]
Удовлетворяют тому же уравнению, что и (, то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом.
[pic]; аналогичным образом можно показать, что [pic] (11).
Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по (.