§ 1. Числовые функции

Понятие функции является одним из основных в математике. С его помощью выражают зависимости между различными переменными величинами.
Изучение свойств функций, основанное на методе пределов, составляет содержание математического анализа.

1. Определение

Пусть [pic]- некоторое числовое множество, и пусть каждому элементу [pic] поставлено в соответствие число [pic]. Тогда говорят, что на множестве [pic] определена числовая функция. Функцию обозначают некоторым символом, например [pic], и пишут

[pic]. (1)
Множество [pic] называется областью определения функции [pic], [pic]
- ее аргументом, а [pic] - значением функции в точке [pic].
Используются также обозначения: [pic] для области определения и [pic] для множества значений функции.

Графиком функции [pic] называется множество всех точек координатной плоскости вида [pic], где [pic]. График дает наглядное представление о поведении функции, однако более удобным в теоретических исследованиях является аналитический способ задания функций с помощью формул. На практике используют также табличный способ, когда значения функции указываются для отдельных значений аргумента.

В качестве области определения функции могут выступать различные числовые множества, например: а) отрезок [pic]; б) интервал [pic]; в) полуинтервалы [pic] или [pic]; г) бесконечные полуинтервалы [pic] или [pic]; д) множество всех действительных чисел R =[pic].

Под областью определения функции, заданной формулой, понимают обычно множество всех значений аргумента, для которых эта формула имеет смысл.

Примеры. 1) Для функции [pic] область определения и множество значений

имеют вид: [pic], [pic]; график функции представлен на рис. 1.

Рис. 1.

2) Для функции [pic]имеем [pic], [pic]; график функции изображен на рис. 2.

Рис. 2.

3) Для функции [pic] имеем: [pic],

[pic]; ее график приведен на рис. 3.

Рис. 3.

2. Основные элементарные функций

Напомним определения и свойства некоторых элементарных функций, известные из школьного курса математики. В каждом случае укажем аналитическое выражение и область определения функции, приведем ее график.

а) Линейная функция:

[pic]R, где [pic] и [pic] – некоторые постоянные (числа); график – прямая с угловым коэффициен- том [pic] ([pic], где [pic] – угол наклона прямой к оси [pic]):

Рис.4.

б) Квадратичная функция:

[pic]R,

Рис. 5.

где [pic], [pic], [pic] - постоянные коэффициенты; график – парабола, ее расположение существенно зависит от величины