Министерство образования Российской Федерации

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова

РЕФЕРАТ на тему:

“МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ”

Выполнил: студент гр. МХТ-02

Казаков Василий Васильевич

Проверила:

Абрамова Ирина Михайловна

Магнитогорск 2003

Содержание

1) Гармонические колебания

2) Затухающие колебания

3) Вынужденные колебания без учета сопротивления среды

4) Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды

Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания.

Гармонические колебания.

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).

Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна [pic]. Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.

Решение

Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.

Пусть ( означает удлинение пружины в данный момент, а (ст—статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда (=(ст+х, или (-(ст=х.

Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma, где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести.

По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению:
Fупр=-с(, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины.

[pic]

Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= с(ст. Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим (-(ст через х, получится уравнение в виде: