Механические колебания в дифференциальных уравнениях

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: доклад на тему, план конспект урока
| Добавил(а) на сайт: Shapkin.

[pic] или если положить [pic], [pic], то

[pic] (3)

Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

[pic] имеет корни

[pic] (4)

Характер движения целиком определяется этими корнями. Возможны три различных случая. Рассмотрим сначала случай, когда [pic]. Это неравенство имеет место, когда сопротивление среды невелико. Если положить [pic], то корни (4) имеют вид [pic]. Тогда общее решение можно записать в виде

[pic] или, преобразовав, умножая и деля на [pic], получим:

[pic] положим, что

[pic] [pic] [pic], тогда

[pic] (5)

График зависимости отклонения от положения равновесия от времени имеет вид:

[pic]

Если заданы начальные условия: [pic] при t = 0, то можно определить А и (. Для этого находим

[pic] и подставляем t = 0 в выражения для [pic]и [pic] получим систему уравнений

[pic]

Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части первого получим

[pic] откуда

[pic] или [pic] а [pic]

Так как

[pic] то

[pic]

Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии- тельно, амплитуда колебания [pic] зависит от времени и является монотонно убывающей функцией, причем [pic] при [pic].

Период затухающих колебаний определяется по формуле

[pic]

Моменты времени, в которые груз получает максимальное отклонение от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным [pic] или [pic]. Эта величина называется декрементом затухания и обычно обозначается буквой D. Натуральный логарифм декремента lnD = - пТ/2 называется логарифмическим декрементом затухания.