Механические колебания в дифференциальных уравнениях

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: доклад на тему, план конспект урока
| Добавил(а) на сайт: Shapkin.

Частота колебаний [pic]в этом случае меньше, нежели в предыдущем
([pic]), но, как и там, не зависит от начального положения груза.

Если сопротивление среды велико и [pic], то, положив [pic], получим корни (4) в виде [pic] Так как [pic], то оба корня отрицательны. Общее решение уравнения в этом случае имеет вид

[pic] (6)

Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера. Аналогичный характер будет иметь движение и в случае [pic], когда общее решение имеет вид

[pic] (7)

Легко заметить, что в обоих последних случаях при [pic] имеем

[pic].

Если заданы начальные условия [pic] и [pic], то в случае, когда [pic], имеем [pic], а [pic]. Решая эту систему относительно [pic] и [pic], получим

[pic], [pic] и, следовательно

[pic]

[pic]

В случае же, когда [pic], получаем [pic], [pic] и следовательно,

[pic]

Вынужденные колебания без учета сопротивления среды.

Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой.

Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в ненагруженном состоянии равна [pic]. На груз действует периодическая возмущающая сила [pic] где Q и р — постоянные. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды.

Решение

Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение

[pic]
Полагая, как и прежде, [pic] и, кроме того, [pic] перепишем уравнение в виде

[pic] (8)

Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем однородным уравнением, соответствующим уравнению
(8), является (1). Поэтому [pic]; остается найти х. Если предположить, что
[pic], то частное решение х, нужно искать в виде [pic], где М и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак,

[pic][pic]

Производя вычисления, получаем

[pic] [pic] откуда М=0 и [pic] Полученное таким образом частное решение

[pic] (9) определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю- щей силой [pic]. Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и возмущающая сила, совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную фазу) при k>p, либо отличаются на (, если k