Механические колебания в дифференциальных уравнениях

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: доклад на тему, план конспект урока
| Добавил(а) на сайт: Shapkin.

[pic] или, обозначив с/m через k2,

[pic] (1)

Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Его характеристическое уравнение:

[pic] имеет мнимые корни [pic], соответственно этому общее решение

[pic]

Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на [pic], получим:

[pic]

Если положить

[pic] [pic] [pic] то

[pic] (2)

График гармонических колебаний имеет вид:

[pic]

Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент [pic] — фазой колебания. Значение фазы при t=o т.e. величина [pic], называется начальной фазой колебания. Величина [pic] есть частота колебания. Период колебания [pic] и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы. Так как с = Р/(ст = mg/(ст, то для периода можно получить также формулу:

[pic]

Скорость движения груза получается дифференцированием решения по t:

[pic]

Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо задать начальные условия. Пусть, например, в начальный момент t = 0 положение груза x=x0 и скорость (=(0. Тогда [pic] [pic], откуда

[pic], [pic]

Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной скорости ((0=0) амплитуда А=х0, а начальная фаза (=(/2 и, таким образом,

[pic] или [pic]

Затухающие колебания.

Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшают- ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения.

Решение

К силам, действующим на груз, прибавляется здесь сила сопротивления воздуха [pic] (знак минус показывает, что сила R направлена противоположно скорости (). Тогда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox имеет вид