Метод математической индукции

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: работа реферат, конспект занятия
| Добавил(а) на сайт: Зари.

Пример 2. Доказать истинность предложения

A(n)={число 5[pic] кратно 19}, n – натуральное число.

Решение.

Высказывание А(1)={число [pic]кратно 19} истинно.

Предположим, что для некоторого значения n=k

А(k)={число [pic] кратно 19} истинно. Тогда, так как

[pic], очевидно, что и A(k+1) истинно. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, что A(k) истинно; второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19. Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение A(n) истинно при всех значениях n. [pic]

3. Применение метода математической индукции к суммированию рядов.

Пример 1. Доказать формулу

[pic], n – натуральное число.

Решение.

При n=1 обе части равенства обращаются в единицу и, следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено.

Предположим, что формула верна при n=k, т.е.

[pic].

Прибавим к обеим частям этого равенства [pic] и преобразуем правую часть. Тогда получим

[pic]

Таким образом, из того, что формула верна при n=k, следует, что она верна и при n=k+1. Это утверждение справедливо при любом натуральном значении k. Итак, второе условие принципа математической индукции тоже выполнено. Формула доказана.

Пример 2. Доказать, что сумма n первых чисел натурального ряда равна
[pic].

Решение.

Обозначим искомую сумму [pic], т.е. [pic].

При n=1 гипотеза верна.

Пусть [pic]. Покажем, что [pic].

В самом деле,

[pic].
Задача решена.

Пример 3. Доказать, что сумма квадратов n первых чисел натурального ряда равна [pic].