Метод математической индукции

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: работа реферат, конспект занятия
| Добавил(а) на сайт: Зари.

При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна.
Поэтому [pic]. Но [pic], значит, и [pic].

Пример 2. Найти ошибку в рассуждении.

Утверждение. При любом натуральном n справедливо неравенство [pic].

Доказательство.

Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.

[pic].

(1)
Докажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.

[pic].

Действительно, [pic] не меньше 2 при любом натуральном k. Прибавим к левой части неравенства (1) [pic], а к правой 2. Получим справедливое неравенство [pic], или [pic]. Утверждение доказано.

Пример 3. Доказать, что [pic], где [pic]>-1, [pic], n – натуральное число, большее 1.

Решение.

При n=2 неравенство справедливо, так как [pic].

Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.

[pic]. (1)
Покажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.

[pic]. (2)
Действительно, по условию, [pic], поэтому справедливо неравенство

[pic], (3) полученное из неравенства (1) умножением каждой части его на [pic].
Перепишем неравенство (3) так: [pic]. Отбросив в правой части последнего неравенства положительное слагаемое [pic], получим справедливое неравенство
(2).

Пример 4. Доказать, что

[pic] (1) где [pic], [pic], n – натуральное число, большее 1.

Решение.

При n=2 неравенство (1) принимает вид

[pic]. (2)
Так как [pic], то справедливо неравенство

[pic] . (3)
Прибавив к каждой части неравенства (3) по [pic], получим неравенство (2).

Этим доказано, что при n=2 неравенство (1) справедливо.

Пусть неравенство (1) справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.

[pic]. (4)