Метод математической индукции

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: работа реферат, конспект занятия
| Добавил(а) на сайт: Зари.

Докажем, что тогда неравенство (1) должно быть справедливо и при n=k+1, т.е.

[pic] (5)

Умножим обе части неравенства (4) на a+b. Так как, по условию, [pic], то получаем следующее справедливое неравенство:

[pic]. (6)

Для того чтобы доказать справедливость неравенства (5), достаточно показать, что

[pic], (7) или, что то же самое,

[pic]. (8)
Неравенство (8) равносильно неравенству

[pic]. (9)

Если [pic], то [pic], и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух положительных чисел. Если [pic], то [pic], и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух отрицательных чисел. В обоих случаях неравенство (9) справедливо.

Этим доказано, что из справедливости неравенства (1) при n=k следует его справедливость при n=k+1.

5. Метод математической индукции в применение к другим задачам.

Наиболее естественное применение метода математической индукции в геометрии, близкое к использованию этого метода в теории чисел и в алгебре,
- это применение к решению геометрических задач на вычисление. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Вычислить сторону [pic] правильного [pic]- угольника, вписанного в круг радиуса R.

Решение.

При n=2 правильный 2n – угольник есть квадрат; его сторона [pic].
Далее, согласно формуле удвоения

[pic] находим, что сторона правильного восьмиугольника [pic], сторона правильного шестнадцатиугольника [pic], сторона правильного тридцатидвухугольника
[pic]. Можно предположить поэтому, что сторона правильного вписанного 2n – угольника при любом [pic] равна

[pic]. (1)

Допустим, что сторона правильного вписанного [pic]- угольника выражается формулой (1). В таком случае по формуле удвоения

[pic], откуда следует, что формула (1) справедлива при всех n.

Пример 2. На сколько треугольников n-угольник (не обязательно выпуклый) может быть разбит своими непересекающимися диагоналями?

Решение.

Для треугольника это число равно единице (в треугольнике нельзя провести ни одной диагонали); для четырехугольника это число равно, очевидно, двум.

Предположим, что мы уже знаем, что каждый k-угольник, где k