Методы решения уравнений в странах древнего мира.

История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения
(«фальфивое правило»)

Уравнение первой степени с одним неизвестным можно привести всегда к виду ах + Ь == с, в котором а, Ь, с — целые числа. По правилам арифметических действий ах = с — b,
[pic]
Если Ь > с, то с — b число отрицательное. Отрицательные числа были египтянам и многим другим более поздним народам неизвестны (равноправно с положительными числами их стали употреблять в математике только в семнадцатом веке).
Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями первой степени, был изобретен метод ложного положения.
В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них позволяет понять, как рассуждал автор.
Египтяне имели особый знак для обозначения неизвестного числа, который до недавнего прошлого читали «хау» и переводили словом «куча» («куча» или
«неизвестное количество» единиц). Теперь читают немного менее неточно:
«ага». bqt задача № 24 сборника Ахмеса:
«Куча. Ее седьмая часть ('подразумевается: «дают в сумме») 19. Найти кучу».
Запись задачи нашими знаками:

[pic]
Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих четырех столбцах:
[pic]
Во многих задачах в начале или в конце встречаются слова: «Делай как делается», другими словами: «Делай, как люди делают».
Смысл решения Ахмеса легко понять.
Делается предположение, что. куча есть 7; тогда [pic] ее часть есть 1.
Это записано в первом столбце.

Во втором столбце записано, что при предположении х=7 куча и ее [pic] часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения дает 16. Автор, в уме очевидно, прикидывает, что дальше удваивать предположение нельзя, так как тогда получится больше 19. Он записывает 16, ставит перед числом две точки для обозначения удвоения первоначального предположения и отмечает значком
(у нас — звездочкой) результат; для получения в сумме 19 первоначальное предположение надо умножить -на 2 с некоторым добавлением, так как для получения точного результата, 19, не хватает еще 19—16=3. Ахмес находит
[pic] от 8, получает 4. Так как это больше нехватки 3, то на [pic] предположение умножить нельзя. Но [pic] от 8 есть 2, [pic] от восьми 1.
Ахмес видит, что [pic] и [pic] первоначального результата дают точно те 3 единицы, которых не хватало. Отметив [pic] и [pic] значками, Ахмес убедился, что первоначальное предположение для кучи (7) надо помножить на
[pic]
Умножение числа 7 на смешанное число [pic] Ахмес заменяет умножением смешанного числа [pic] на 7. В третьем столбце выписаны: [pic] часть искомой кучи есть [pic], удвоенное это число: [pic] и учетверенное: [pic].
Сумма этих трех чисел, равная числу [pic], есть произведение первоначального предположения 7 на [pic].
Итак, куча равна [pic].
В последнем столбце Ахмес делает проверку, складывая полученное значение для кучи [pic] и его [pic] части [pic]. В сумме получается 19, и решение заканчивается обычным для автора заключением: «Будет хорошо».
Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах == b. Его применяли как египтяне, так и вавилоняне.
У разных народов применялся метод двух ложных положений. Арабами этот метод был механизирован и получил ту форму, в которой он перешел в учебники европейских народов, в том числе в «Арифметику» Магницкого. Магницкий называет способ решения «фальшивым правилом» и пишет о части своей книги, излагающей этот метод:

Зело бо хитра есть сия часть,

Яко можеши ею все класть (вычислить. — И. Д.)

Не токмо что есть во гражданстве,

Но и высших наук в пространстве,

Яже числятся в сфере неба,

Якоже мудрым есть потреба.

Содержание стихов Магницкого можно вкратце передать так: эта часть арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы «высшие», которые встают перед «мудрыми».
Магницкий пользуется «фальшивым правилом» в форме, какую ему придали арабы, называя его «арифметикой двух ошибок» или «методой весов».

Квадратные уравнения в Древнем

Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

[pic]
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, • в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения ,

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между ними
2х. Отсюда уравнение

[pic] или же
[pic]

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = —2 для
Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения
[pic]
Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность искомых чисел,
Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на уравнения встречаются уже в астрономическом трактате
«Ариабхаттаим», составленном в 449 г. индийским математиком и астрономом
Арибхаттой. Но это уже раннее средневековье.
В Алгебраическом трактате ал-Хорезми даётся классификация линейных и квадратных уравнений.
Индий учёные знали решения неопределённых уравнений в целых числах (в том числе и в отрицательных, чего сам Диофант избегал).

Формула решений квадратного уравнения.

Греческий математик Герон (I или II век нашего летоисчисления) вывел формулу для решения квадратного равнения ax2 + bx = c умножением всех членов на а и прибавлением к обеим половинам уравнения [pic] :