Методы решения уравнений в странах древнего мира

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: конспекты занятий в детском саду, личные сообщения
| Добавил(а) на сайт: Melan'ja.

Диофантовы уравнения.

Задача Диофанта №80 (Из II книги его «Арифметики»)

Найти 2 таких числа, чтобы сумма квадрата каждого из них с другим искомым числом дала полный квадрат,

Решение Диофанта
Пусть первое число (I) будет s. Чтобы квадрат его •при прибавлении второго числа дал квадрат, второе число должно быть 2s + 1, так как в таком случае выполняется требование задачи: квадрат первого числа. сложенный со вторым, дает s2 + 2s + 1, то есть полный квадрат (s + 1)2.

Квадрат второго числа, сложенный с первым, должен также дать квадрат, то есть число (2s + I)2 + s, равное

4s2 + 5s + 1 == t2

Положим, что t = 2s — 2; тогда t2 = 4s2 — 8s + 4. Это выражение должно равняться 4s2 + 5s + 1. Итак, должно быть:

4s2 — 8s + 4 == 4s2 + 5s + l откуда s=[pic]
Значит, задаче удовлетворяют числа:
[pic].

Проверка;

[pic]
Почему Диофант делает предположение, что t==2s—2, он не объясняет. Во всех своих задачах (в дошедших до нас шести книгах его их 189) он делает то или другое предположение, не давая никакого обоснования.
Вообще содержание 6 книг таково:
В «Арифметике» 189 задач, каждая снабжена одним или несколькими решениями.
Задачи ставятся в общем виде, затем берутся конкретные значения входящих в нее величин и даются решения.
Задачи книги I в большинстве определенные. В ней имеются и такие, которые решаются с помощью систем двух уравнений с двумя неизвестными, эквивалентных квадратному уравнению. Для его разрешимости Диофант выдвигает условие, чтобы дискриминант был полным квадратом. Так, задача 30— найти таких два числа, чтобы их разность и произведение были заданными числами,— приводится к системе

х — у = а, х = b.

Диофант выдвигает «условие формирования»: требуется, чтобы учетверенное произведение чисел, сложенное с квадратом разности их, было квадратом, т. е. 4b + а2 = с2.
В книге II решаются задачи, связанные с неопределенными уравнениями и системами таких уравнений с 2, 3, 4, 5, 6 неизвестными степени не выше второй.
Диофант применяет различные приемы. Пусть необходимо решить неопределенное уравнение второй степени с двумя неизвестными f2 (х, у) ==0.
Если у него есть рациональное решение (x0, y0), то Диофант вводит подстановку x = x0 + t, y = y0 + kt, в которой k рационально. После этого основное уравнение преобразуется в квадратное относительно t, у которого свободный член f2 ( x0, у0) = 0. Из уравнения получается t1 == 0 (это значение Диофант отбрасывает), t2 — рациональное число. Тогда подстановка дает рациональные х и у.
В случае, когда задача приводилась к уравнению у2 = ax2 + bx + с, очевидно рациональное решение x0 = О,y0=±C. Подстановка Диофанта выглядит так: x = t, y = kt ± c

Другим методом при решении задач книги II Диофант пользовался, когда они приводили к уравнению у2 == = a2x2 + bx + с. Он делал подстановку

x= t,

y = at + k, после чего х и у выражались рационально через параметр k:
[pic]
Диофант, по существу, применял теорему, состоящую в том,; что если неопределенное уравнение имеет хотя бы одно рациональное решение, то таких решений будет бесчисленное множество, причем значения х и у могут быть представлены в виде рациональных функций некоторого параметра»

В книге II есть задачи, решаемые с помощью «двойного неравенства», т. е. системы ах + b = и2, сх + d == v2.
Диофант рассматривает случай а = с, но впоследствии пишет, что метод можно применить и при а : с = т2, Когда а == с, Диофант почленным вычитанием одного равенства из другого получает и2 —и2 = b — d. Затем разность b — d раскладывается на множители b — d = п1 и приравнивает и + v
= I, и — v = п, после чего находит и = (I + п)/2, v = (I - n)/2, х - (l2 + п2}/4a - {b + d)/2a.

Если задача сводится к системе из двух или трех уравнений второй степени, то Диофант находит такие рациональные выражения неизвестных через одно неизвестное и параметры, при которых все уравнения, кроме одного, обращаются в тождества. Из оставшегося уравнения он выражает основное неизвестное через параметры, а затем находит и другие неизвестные.

Методы, разработанные в книге II, Диофант применяет к более трудным задачам книги III, связанным с системами трех, четырех и большего числа уравнений степени не выше второй. Он, кроме того, до формального решения задач проводит исследования и находит условия, которым должны удовлетворять параметры, чтобы решения существовали.

В книге IV встречаются определенные и неопределенные уравнения третьей и более высоких степеней. Здесь дело обстоит значительно сложнее, потому что, вообще говоря, неизвестные невозможно выразить как рациональные функции одного параметра. Но, как и раньше, если известны одна или две рациональные точки кубической кривой fз (х, у) == 0, то можно найти и другие точки.
Диофант при решении задач книги IV применяет новые методы»

Книга V содержит наиболее сложные задачи; некоторые из них решаются с помощью уравнений третьей и четвертой степеней от трех и более неизвестных.
Есть и такие, в которых требуется разложить данное целое число на сумму двух, трех или четырех квадратов, причем эти квадраты должны удовлетворить определенным неравенствам.,
При решении задач Диофант дважды рассматривает уравнение Пелля ax2 + 1 = у2.
Задачи книги VI касаются прямоугольных треугольников с рациональными сторонами. К условию х2 + у2 == z2 в них добавляются еще условия относительно площадей, периметров, сторон треугольников.
В книге VI доказывается, что если уравнение ax2 + b == у2 имеет хотя бы одно рациональное решение, то их будет бесчисленное множество. Для решения задач книги VI Диофант применяет все употребляемые им способы.
Кстати, в одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь
Диофанта описывается в виде следующей алгебраиче-юй загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей—и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.