Методы решения уравнений в странах древнего мира

| Категория реферата: Рефераты по математике
| Теги реферата: конспекты занятий в детском саду, личные сообщения
| Добавил(а) на сайт: Melan'ja.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:

[pic] откуда х = 84 = вот сколько лет жил Диофант.

Неопределённое уравнение x2 + y2 = z2
Такое неопределённое уравнение исследовали пиффагорийцы, целые решения которого поэтому называют «пифагоровыми тройками», они нашли бесконечно много таких троек, имеющих вид:
[pic]

Кубические уравнения
Более систематическое исследование задач, эквивалентных кубическим уравнениям, относится только к эпохе эллинизма. Архимед в сочинении «О шаре и цилиндре» (книга II, предложение 4) свел задачу о рассечении шара плоскостью на два сегмента, объемы которых имели бы заданное отношение т : п (т > п), к нахождению высоты х большего сегмента из пропорции

[pic]

(1)

где а — радиус шара.
Архимед обобщает задачу: рассечь заданный отрезок а на две части х и а—х так, чтобы

(а — х) : с = S : х2, (2)

где с и S — заданные отрезок и площадь.
Заметив, что при такой общей постановке задача не всегда разрешима
(имеются в виду только положительные действительные решения), Архимед приступает к ее исследованию с тем, чтобы наложить ограничения на с и S. Он говорит, что изложит полное решение задачи «в конце», однако соответствующее место не сохранилось. Жившие на столетие позже Архимеда греческие геометры Диокл и Дионисодор уже не знали его. Они предложили собственные, гораздо более сложные решения, но никто из них не сумел провести анализ общего случая.

Только в VI в. н. э. комментатор Архимеда Евтокий нашел утраченное место. Архимед решает задачу с помощью двух конических сечений:
Параболы

[pic]

(3) и гиперболы

[pic]

(4)

(здесь положено S = pb). Оба уравнения легко получить из пропорции (2).
Для выяснения необходимых условий Архимед переходит от пропорции (2) к кубическому уравнению x2(a-x) =
Sc (5) которое он выражает словесно как соотношение между объемами. Ясно, что уравнение (5) может иметь положительные корни, если

[pic]

Итак, проблема сводится к нахождению экстремума х2 (а — х).

Оставим пока в стороне вопрос о методе экстремумов Архимеда, мы вернемся к этому, когда будем говорить об инфинитезимальных методах древних. Скажем только, что Архимед полностью исследовал условия существования положительных вещественных корней уравнения (5), а именно:

1) если Sc < 43/27, то на участке (0, а) имеются два таких корня;

2) если Sc = 4aз/27, то имеется один корень (как сказали бы мы,— двукратный);